南京师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $p$ 表示原点到椭球面 $\displaystyle S: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 上任一点 $(x, y, z)$ 的切平面的距离，证明 $\displaystyle \oiint_{S} \frac{1}{p} d S=\frac{4 \pi}{3} a b c\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\right)$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出椭球面上一点处的切平面方程
设椭球面方程为 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，令 $F(x,y,z)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1$，则梯度 $\nabla F = \left(\frac{2x}{a^2},\frac{2y}{b^2},\frac{2z}{c^2}\right)$。在点 $(x,y,z)$ 处的切平面方程为 $\frac{x}{a^2}(X-x)+\frac{y}{b^2}(Y-y)+\frac{z}{c^2}(Z-z)=0$，利用椭球方程化简得 $\frac{xX}{a^2}+\frac{yY}{b^2}+\frac{zZ}{c^2}=1$。
公式：切平面方程：$\frac{xX}{a^2}+\frac{yY}{b^2}+\frac{zZ}{c^2}=1$
提示：注意化简时需代入椭球方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ 消去常数项。
步骤 2/7
目标：计算原点到切平面的距离 p
原点到平面 $AX+BY+CZ=1$ 的距离为 $p = \frac{|0+0+0-1|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$，其中 $A=\frac{x}{a^2},\ B=\frac{y}{b^2},\ C=\frac{z}{c^2}$。因此 $p = \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}}}$，从而 $\frac{1}{p} = \sqrt{\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}}$。
公式：$\frac{1}{p} = \sqrt{\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}}$
提示：距离公式中分子取绝对值，但此处结果为 $1$，无需担心符号。
步骤 3/7
目标：用广义球坐标参数化椭球面并写出面积元
采用参数化：$x = a\sin\theta\cos\phi,\ y = b\sin\theta\sin\phi,\ z = c\cos\theta$，其中 $\theta\in[0,\pi],\ \phi\in[0,2\pi)$。椭球面的面积元为 $dS = \sqrt{b^2c^2\sin^2\theta\cos^2\phi + a^2c^2\sin^2\theta\sin^2\phi + a^2b^2\cos^2\theta}\ \sin\theta\ d\theta d\phi$，也可写为 $dS = abc \sqrt{\frac{\sin^2\theta\cos^2\phi}{a^2}+\frac{\sin^2\theta\sin^2\phi}{b^2}+\frac{\cos^2\theta}{c^2}}\ \sin\theta\ d\theta d\phi$。
公式：$dS = abc \sqrt{\frac{\sin^2\theta\cos^2\phi}{a^2}+\frac{\sin^2\theta\sin^2\phi}{b^2}+\frac{\cos^2\theta}{c^2}}\ \sin\theta\ d\theta d\phi$
提示：两种面积元形式等价，注意根号内表达式与后续被积函数匹配。
步骤 4/7
目标：用参数表示被积函数并化简乘积
代入参数：$\frac{x^2}{a^4} = \frac{\sin^2\theta\cos^2\phi}{a^2},\ \frac{y^2}{b^4} = \frac{\sin^2\theta\sin^2\phi}{b^2},\ \frac{z^2}{c^4} = \frac{\cos^2\theta}{c^2}$，故 $\frac{1}{p} = \sqrt{\frac{\sin^2\theta\cos^2\phi}{a^2}+\frac{\sin^2\theta\sin^2\phi}{b^2}+\frac{\cos^2\theta}{c^2}}$。乘积 $\frac{1}{p}dS = abc \left(\frac{\sin^2\theta\cos^2\phi}{a^2}+\frac{\sin^2\theta\sin^2\phi}{b^2}+\frac{\cos^2\theta}{c^2}\right)\sin\theta\ d\theta d\phi$。
公式：$\frac{1}{p}dS = abc \left(\frac{\sin^2\theta\cos^2\phi}{a^2}+\frac{\sin^2\theta\sin^2\phi}{b^2}+\frac{\cos^2\theta}{c^2}\right)\sin\theta\ d\theta d\phi$
提示：两个相同的根号相乘后直接消去根号，简化计算。
步骤 5/7
目标：将曲面积分化为累次积分并拆项
原积分化为 $\oiint_S \frac{1}{p}dS = abc \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \left(\frac{\sin^2\theta\cos^2\phi}{a^2}+\frac{\sin^2\theta\sin^2\phi}{b^2}+\frac{\cos^2\theta}{c^2}\right)\sin\theta\ d\theta d\phi$。拆成三项分别积分：第一项 $\frac{1}{a^2}\int_0^{2\pi}\cos^2\phi d\phi \int_0^\pi \sin^3\theta d\theta$，第二项 $\frac{1}{b^2}\int_0^{2\pi}\sin^2\phi d\phi \int_0^\pi \sin^3\theta d\theta$，第三项 $\frac{1}{c^2}\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi \cos^2\theta\sin\theta d\theta$。
公式：积分拆项：$\int_0^{2\pi}\int_0^\pi (\cdot)\sin\theta d\theta d\phi = \frac{1}{a^2}I_1 + \frac{1}{b^2}I_2 + \frac{1}{c^2}I_3$
提示：注意积分区域为 $\theta\in[0,\pi],\ \phi\in[0,2\pi)$，拆项后各因子独立。
步骤 6/7
目标：计算各积分值
计算：$\int_0^{2\pi}\cos^2\phi d\phi = \pi$，$\int_0^{2\pi}\sin^2\phi d\phi = \pi$，$\int_0^\pi \sin^3\theta d\theta = \frac{4}{3}$，$\int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi$，$\int_0^\pi \cos^2\theta\sin\theta d\theta$ 令 $u=\cos\theta$，则 $du=-\sin\theta d\theta$，积分限 $1$ 到 $-1$，得 $\int_1^{-1} u^2(-du)=\int_{-1}^1 u^2 du = \frac{2}{3}$。因此第一项 $=\frac{1}{a^2}\cdot\pi\cdot\frac{4}{3}=\frac{4\pi}{3a^2}$，第二项 $=\frac{4\pi}{3b^2}$，第三项 $=\frac{1}{c^2}\cdot2\pi\cdot\frac{2}{3}=\frac{4\pi}{3c^2}$。
公式：$\int_0^{2\pi}\cos^2\phi d\phi = \pi$，$\int_0^\pi \sin^3\theta d\theta = \frac{4}{3}$，$\int_0^\pi \cos^2\theta\sin\theta d\theta = \frac{2}{3}$
提示：计算 $\int_0^\pi \cos^2\theta\sin\theta d\theta$ 时注意换元后积分限变化。
步骤 7/7
目标：求和并得到最终结果
三项相加得 $\frac{4\pi}{3}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)$，再乘以系数 $abc$，即得 $\oiint_S \frac{1}{p}dS = abc \cdot \frac{4\pi}{3}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)$。
公式：$\oiint_S \frac{1}{p}dS = \frac{4\pi}{3}abc\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)$
提示：最终结果需整理为题目所给形式，注意系数 $abc$ 不要遗漏。
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