南京师范大学 2019年数学分析第0题
📝 题目
4、用定积分计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：取自然对数简化形式
设 $a_n = \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$，则 $\ln a_n = \frac{1}{n} \ln(n!) - \ln n$。
公式：$\ln a_n = \frac{1}{n} \ln(n!) - \ln n$
提示：取对数是处理根号和阶乘的常用技巧，注意对数运算性质。
步骤 2/6
目标：将阶乘的对数写成求和形式
由 $\ln(n!) = \sum_{k=1}^{n} \ln k$，代入得 $\ln a_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln k - \ln n$。
公式：$\ln(n!) = \sum_{k=1}^{n} \ln k$
提示：阶乘的对数转化为求和是后续构造黎曼和的关键。
步骤 3/6
目标：构造定积分形式
将 $\ln n$ 写成 $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln n$，则 $\ln a_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (\ln k - \ln n) = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(\frac{k}{n}\right)$。
公式：$\ln a_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(\frac{k}{n}\right)$
提示：将 $\ln n$ 写成求和形式是为了与前面的求和合并，注意 $\ln k - \ln n = \ln(k/n)$。
步骤 4/6
目标：转化为黎曼和并取极限
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(\frac{k}{n}\right)$ 是函数 $\ln x$ 在 $[0,1]$ 上的黎曼和，极限为 $\int_0^1 \ln x \, dx$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 \ln x \, dx$
提示：注意 $x=0$ 是瑕点，该积分为广义积分，需用极限处理。
步骤 5/6
目标：计算定积分
先求不定积分 $\int \ln x \, dx = x \ln x - x + C$。计算广义积分：$\int_0^1 \ln x \, dx = \lim_{t \to 0^+} \left[ (1 \cdot \ln 1 - 1) - (t \ln t - t) \right] = (0 - 1) - (0 - 0) = -1$。
公式：$\int_0^1 \ln x \, dx = -1$
提示：注意 $\lim_{t \to 0^+} t \ln t = 0$，这是常见极限。
步骤 6/6
目标：得到原极限
由 $\lim_{n\to\infty} \ln a_n = -1$，得 $\lim_{n\to\infty} a_n = e^{-1} = \frac{1}{e}$。
公式：$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \frac{1}{e}$
提示：取指数还原时注意极限运算的连续性。
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