南京师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出表达式并观察形式
记调和级数的部分和为 \( H_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} \)，则原极限为 \( \lim_{n \to \infty} (H_n)^{1/n} \)。这是一个幂指型极限，通常通过取对数转化为数列极限问题。
公式：H_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}
提示：注意幂指型极限的处理方法：取对数后求极限。
步骤 2/5
目标：取自然对数转化极限
设 \( L = \lim_{n \to \infty} (H_n)^{1/n} \)，则 \( \ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln H_n}{n} \)。因此只需计算 \( \lim_{n \to \infty} \frac{\ln H_n}{n} \)。
公式：\ln L = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln H_n}{n}
提示：取对数后，极限形式变为 \( \frac{\ln H_n}{n} \)，分子增长较慢，分母线性增长，可能趋于0。
步骤 3/5
目标：估计调和级数部分和的大小
利用调和级数的渐近公式：\( H_n = \ln n + \gamma + o(1) \)，其中 \( \gamma \) 是欧拉常数。对于 \( n \ge 2 \)，有不等式 \( \ln n < H_n < \ln n + 1 \)（可通过积分估计得到）。
公式：\ln n < H_n < \ln n + 1 \quad (n \ge 2)
提示：渐近估计是处理调和级数极限的常用技巧，注意不等式方向。
步骤 4/5
目标：用夹逼法求 \( \frac{\ln H_n}{n} \) 的极限
对不等式 \( \ln n < H_n < \ln n + 1 \) 取自然对数（当 \( n \) 足够大时，\( \ln n > 0 \)），得 \( \ln(\ln n) < \ln H_n < \ln(\ln n + 1) \)。除以 \( n \) 得：\( \frac{\ln(\ln n)}{n} < \frac{\ln H_n}{n} < \frac{\ln(\ln n + 1)}{n} \)。由于 \( \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(\ln n)}{n} = 0 \) 且 \( \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(\ln n + 1)}{n} = 0 \)，由夹逼定理得 \( \lim_{n \to \infty} \frac{\ln H_n}{n} = 0 \)。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{\ln(\ln n)}{n} = 0, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{\ln(\ln n + 1)}{n} = 0
提示：夹逼法需要确保不等式成立，并验证两端极限相等。注意 \( \ln(\ln n) \) 增长极慢，除以 \( n \) 后趋于0。
步骤 5/5
目标：还原原极限
由 \( \ln L = 0 \) 得 \( L = e^0 = 1 \)。因此原极限为 \( 1 \)。
公式：L = e^0 = 1
提示：取对数后极限为0，则原极限为1，注意指数函数的连续性。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
综上，原极限为1。
公式：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}} = 1$
提示：结果简洁，但推导过程需注意对数运算和渐近估计的严谨性。
步骤 7/7
目标：还原原极限
因此 $\lim_{n \to \infty} a_n^{1/n} = e^0 = 1$。
公式：$\lim_{n \to \infty} a_n^{1/n} = 1$
提示：最终结果简洁，但推导过程需严谨。
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