📝 南京师范大学 2022年数学分析真题

1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}$ ．

2． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．

3． $\displaystyle \int \frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

4．设 $f(x)$ 可微，$y=f(\ln x) e^{f(x)}$ ，求 $\mathrm{d} y$ ．

5．设 $f(x) \in C(\mathbb{R})$ ，令 $F(t)=\int_{1}^{t} \mathrm{~d} y \int_{y}^{t} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $F^{\prime}(t)$ ．

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上二阶可导，对于 $\displaystyle \forall x \in[a, b], f(x) f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ ，并且 $\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 的任意子区间上不恒为 0 ．证明：在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上 $\displaystyle \mid f(x)$ 至多有一个零点．

八、（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)$ ：是 $\displaystyle [a, b] \times[c,+\infty)$ 上的非负连续函数，$\displaystyle I(x)=\int_{c}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y$在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上连续．证明：$\displaystyle I(x)$ 在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上一致收敛．

六、（15 分）证明：若 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 I 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，并且对 $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, f_{n}(x)$在 I 上有界，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 I 上一致有界。

十、（15 分）已知正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 发散，讨论以下级数的玫散性并给出理由．

$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{1+x_{n}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{1+n x_{n}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{1+n^{2} x_{n}}
$$

四、（15 分）设 $\displaystyle x_{1}=\sqrt{2}, x_{n+1}=\frac{1}{2+x_{n}}(n=1,2,3, \cdots)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．