南京师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
5．设 $f(x) \in C(\mathbb{R})$ ，令 $F(t)=\int_{1}^{t} \mathrm{~d} y \int_{y}^{t} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $F^{\prime}(t)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解积分区域
给定 $F(t)=\int_{1}^{t} \mathrm{d} y \int_{y}^{t} f(x) \mathrm{d} x$，其中 $f(x) \in C(\mathbb{R})$。内层积分对 $x$ 从 $y$ 到 $t$，外层积分对 $y$ 从 $1$ 到 $t$，因此积分区域为：$1 \le y \le t$，$y \le x \le t$。在 $xy$ 平面上，这是一个三角形区域：当 $t>1$ 时，顶点为 $(1,1)$、$(t,1)$、$(t,t)$。
公式：区域：$1 \le y \le t,\ y \le x \le t$
提示：注意积分次序是先 $y$ 后 $x$，区域边界由 $x=y$ 和 $x=t$ 确定，$y$ 从 $1$ 到 $t$。
步骤 2/6
目标：交换积分次序
为了简化求导，交换积分次序。由区域条件：当 $x$ 从 $1$ 到 $t$ 时，$y$ 从 $1$ 到 $x$（因为 $y \le x$ 且 $y \ge 1$）。于是：
$$F(t) = \int_{1}^{t} \mathrm{d}x \int_{1}^{x} f(x) \, \mathrm{d}y$$
公式：$F(t) = \int_{1}^{t} \mathrm{d}x \int_{1}^{x} f(x) \, \mathrm{d}y$
提示：交换次序时注意积分限的变换：$y$ 的下限是 $1$，上限是 $x$，$x$ 从 $1$ 到 $t$。
步骤 3/6
目标：计算内层积分
内层积分中，被积函数 $f(x)$ 与 $y$ 无关，因此：
$$\int_{1}^{x} f(x) \, \mathrm{d}y = f(x) \cdot (x - 1)$$
公式：$\int_{1}^{x} f(x) \, \mathrm{d}y = f(x)(x-1)$
提示：注意 $f(x)$ 是 $x$ 的函数，对 $y$ 积分时视为常数。
步骤 4/6
目标：得到单积分形式
代入后，$F(t)$ 化为关于 $t$ 的变上限积分：
$$F(t) = \int_{1}^{t} f(x)(x-1) \, \mathrm{d}x$$
公式：$F(t) = \int_{1}^{t} f(x)(x-1) \, \mathrm{d}x$
提示：此时 $F(t)$ 已转化为标准形式，便于直接求导。
步骤 5/6
目标：应用微积分基本定理求导
由微积分基本定理，若 $G(t) = \int_{a}^{t} g(x) \, \mathrm{d}x$，则 $G'(t) = g(t)$。这里 $g(x) = f(x)(x-1)$，因此：
$$F'(t) = f(t)(t-1)$$
公式：$F'(t) = f(t)(t-1)$
提示：注意被积函数在 $x=t$ 处的取值，且 $f$ 连续保证可导性。
步骤 6/6
目标：讨论 $t$ 的任意性
上述推导假设 $t>1$，但若 $t<1$，积分上下限互换，微积分基本定理仍适用，结果形式相同。由于 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，$F'(t)$ 对所有实数 $t$ 成立。
公式：无新公式
提示：注意 $t=1$ 时，$F(t)=0$，导数公式仍给出 $0$，与直接计算一致。
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