南京师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
2． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别极限类型并取自然对数
当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，$\cos\frac{1}{x} \to 1$，指数 $x^2 \to \infty$，因此极限是 $1^\infty$ 型不定式。设 $L = \lim_{x \to \infty} \left(\cos\frac{1}{x}\right)^{x^2}$，两边取自然对数得 $\ln L = \lim_{x \to \infty} x^2 \ln\left(\cos\frac{1}{x}\right)$。
公式：\ln L = \lim_{x \to \infty} x^2 \ln\left(\cos\frac{1}{x}\right)
提示：取对数后，将幂指函数转化为乘积形式，便于使用极限运算法则。
步骤 2/4
目标：变量代换简化表达式
令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x \to \infty$ 时，$t \to 0^+$，且 $x^2 = \frac{1}{t^2}$。代入得 $\ln L = \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(\cos t)}{t^2}$。
公式：\ln L = \lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(\cos t)}{t^2}
提示：注意 $t \to 0^+$ 是因为 $x>0$ 时 $t>0$，但极限结果与方向无关。
步骤 3/4
目标：对分子进行等价无穷小展开
当 $t \to 0$ 时，$\cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2)$，则 $\ln(\cos t) = \ln\left(1 - \frac{t^2}{2} + o(t^2)\right)$。利用 $\ln(1+u) \sim u$（$u \to 0$），取 $u = -\frac{t^2}{2} + o(t^2)$，得 $\ln(\cos t) \sim -\frac{t^2}{2}$。
公式：\ln(\cos t) \sim -\frac{t^2}{2} \quad (t \to 0)
提示：展开时注意保留到 $t^2$ 项，因为分母是 $t^2$，更高阶项不影响极限。
步骤 4/4
目标：计算极限并还原原极限
代入等价无穷小：$\ln L = \lim_{t \to 0^+} \frac{-\frac{t^2}{2}}{t^2} = -\frac{1}{2}$。因此 $L = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$。
公式：\ln L = -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad L = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}
提示：最后一步不要忘记将对数结果还原为指数形式。
步骤 5/5
目标：还原原极限，得到最终结果
由 $\ln L = -\frac{1}{2}$，两边取指数得：
$$L = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}$$
公式：$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \cos \frac{1}{x} \right)^{x^{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$
提示：最终结果是一个确定值，注意 $e^{-1/2}$ 也可以写作 $\frac{1}{\sqrt{e}}$。
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