南京师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
四、（15 分）设 $\displaystyle x_{1}=\sqrt{2}, x_{n+1}=\frac{1}{2+x_{n}}(n=1,2,3, \cdots)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定数列的界
由 $x_1 = \sqrt{2} > 0$，且递推公式 $x_{n+1} = \frac{1}{2 + x_n}$ 分母为正，故所有 $x_n > 0$。进一步，对于 $n \ge 1$，有 $x_{n+1} = \frac{1}{2 + x_n} < \frac{1}{2}$，因此从第二项起，$0 < x_n < \frac{1}{2}$，数列有界。
公式：$0 < x_n < \frac{1}{2}, \quad n \ge 2$
提示：注意初始项 $x_1 = \sqrt{2} \approx 1.414$ 并不在 $(0, \frac{1}{2})$ 内，但从第二项开始所有项都落在这个区间内。
步骤 2/5
目标：分析单调性并发现振荡现象
考虑差值 $x_{n+1} - x_n = \frac{1}{2 + x_n} - x_n = \frac{1 - 2x_n - x_n^2}{2 + x_n}$。分子 $1 - 2x_n - x_n^2$ 的符号由 $x_n$ 与方程 $x^2 + 2x - 1 = 0$ 的正根 $\sqrt{2} - 1$ 比较决定。计算 $x_2 = \frac{1}{2 + \sqrt{2}} \approx 0.2929 < \sqrt{2} - 1$，故 $x_3 > x_2$；而 $x_3 \approx 0.436 > \sqrt{2} - 1$，故 $x_4 < x_3$。可见数列在极限值附近振荡，不单调。
公式：$x_{n+1} - x_n = \frac{1 - 2x_n - x_n^2}{2 + x_n}$
提示：不要误以为数列单调，实际是振荡收敛，需用压缩映射原理处理。
步骤 3/5
目标：利用压缩映射原理证明收敛
定义函数 $f(x) = \frac{1}{2 + x}$，则 $x_{n+1} = f(x_n)$。求导得 $f'(x) = -\frac{1}{(2 + x)^2}$。在区间 $[0, \frac{1}{2}]$ 上，$|f'(x)| = \frac{1}{(2 + x)^2} \le \frac{1}{4} < 1$，故 $f$ 是压缩映射，压缩比为 $\frac{1}{4}$。由压缩映射原理，数列 $\{x_n\}$ 收敛到 $f$ 的唯一不动点。
公式：$|f'(x)| = \frac{1}{(2 + x)^2} \le \frac{1}{4} < 1$
提示：压缩映射原理要求映射在闭区间上是压缩的，这里区间 $[0, \frac{1}{2}]$ 是闭的，且 $f$ 将区间映射到自身（$f([0, \frac{1}{2}]) \subset [\frac{1}{3}, \frac{1}{2}] \subset [0, \frac{1}{2}]$），条件满足。
步骤 4/5
目标：求极限值
设极限为 $L$，由递推关系取极限得 $L = \frac{1}{2 + L}$。两边乘以 $2 + L$ 得 $L(2 + L) = 1$，即 $L^2 + 2L - 1 = 0$。解得 $L = -1 \pm \sqrt{2}$。由于数列各项为正，舍去负根，得 $L = \sqrt{2} - 1$。
公式：$L = \frac{1}{2 + L} \Rightarrow L^2 + 2L - 1 = 0 \Rightarrow L = \sqrt{2} - 1$
提示：解二次方程时注意正负取舍，必须根据数列的正性选择正根。
步骤 5/5
目标：总结结论
数列 $\{x_n\}$ 收敛，且极限为 $\sqrt{2} - 1$。
公式：$\lim_{n \to \infty} x_n = \sqrt{2} - 1$
提示：最终答案需化简为最简形式，即 $\sqrt{2} - 1$，不要写成小数。
步骤 6/7
目标：证明奇偶子列极限相等
设奇数项极限为 $a$，偶数项极限为 $b$。由递推 $x_{2k+1} = \frac{1}{2+x_{2k}}$ 取极限得 $a = \frac{1}{2+b}$；由 $x_{2k+2} = \frac{1}{2+x_{2k+1}}$ 取极限得 $b = \frac{1}{2+a}$。解方程组：代入得 $a = \frac{1}{2+\frac{1}{2+a}} = \frac{2+a}{5+2a}$，整理得 $2a^2+4a-2=0$，即 $a^2+2a-1=0$，解得 $a = -1 \pm \sqrt{2}$。由 $a>0$ 得 $a = \sqrt{2}-1$。同理 $b = \sqrt{2}-1$，故 $a=b$，整个数列收敛。
公式：a = \frac{1}{2+b}, \quad b = \frac{1}{2+a}
提示：解方程时注意舍去负根。
步骤 7/7
目标：求极限值
设极限为 $L$，则 $L = \frac{1}{2+L}$，即 $L(2+L)=1$，整理得 $L^2+2L-1=0$，解得 $L = -1 \pm \sqrt{2}$。由于 $L>0$，故 $L = \sqrt{2}-1$。
公式：L = \frac{1}{2+L}
提示：注意极限必须为正，舍去负根。
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