南京师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
3． $\displaystyle \int \frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：拆分被积函数
观察到分母为$(1+x)^2$，分子为$x e^x$。将分子$x$改写为$(1+x)-1$，得到：
\[
\frac{x}{(1+x)^2} = \frac{1+x-1}{(1+x)^2} = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2}
\]
因此原积分化为：
\[
\int \frac{x e^x}{(1+x)^2} \, dx = \int e^x \left( \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2} \right) dx = \int \frac{e^x}{1+x} \, dx - \int \frac{e^x}{(1+x)^2} \, dx
\]
公式：\frac{x}{(1+x)^2} = \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^2}
提示：拆分时注意符号，确保分母不变，分子做加减法即可。
步骤 2/3
目标：对第二项应用分部积分
考虑积分 $\int \frac{e^x}{(1+x)^2} \, dx$。令 $u = e^x$，$dv = \frac{1}{(1+x)^2} dx$，则 $du = e^x dx$，$v = -\frac{1}{1+x}$。由分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，得：
\[
\int \frac{e^x}{(1+x)^2} \, dx = -\frac{e^x}{1+x} - \int \left( -\frac{1}{1+x} \right) e^x \, dx = -\frac{e^x}{1+x} + \int \frac{e^x}{1+x} \, dx
\]
公式：\int u \, dv = uv - \int v \, du
提示：分部积分时，注意$v$的符号：$\int \frac{1}{(1+x)^2} dx = -\frac{1}{1+x}$，不要遗漏负号。
步骤 3/3
目标：代入原积分并化简
将第二步的结果代入原积分表达式：
\[
\int \frac{x e^x}{(1+x)^2} \, dx = \int \frac{e^x}{1+x} \, dx - \left( -\frac{e^x}{1+x} + \int \frac{e^x}{1+x} \, dx \right)
\]
去括号得：
\[
= \int \frac{e^x}{1+x} \, dx + \frac{e^x}{1+x} - \int \frac{e^x}{1+x} \, dx
\]
两个相同的积分相消，得到：
\[
= \frac{e^x}{1+x} + C
\]
公式：\int \frac{x e^x}{(1+x)^2} \, dx = \frac{e^x}{1+x} + C
提示：注意去括号时负号的处理，避免符号错误。最终结果中常数$C$不可遗漏。
步骤 4/5
目标：计算简单积分
计算 $\int e^x \, dx = e^x$，因此原积分为：
\[
-\frac{x e^x}{1+x} + e^x + C
\]
公式：\int e^x \, dx = e^x + C
提示：不要忘记积分常数 $C$。
步骤 5/5
目标：整理结果
提取公因子 $e^x$：
\[
e^x \left(1 - \frac{x}{1+x}\right) + C
\]
化简括号内：
\[
1 - \frac{x}{1+x} = \frac{1+x - x}{1+x} = \frac{1}{1+x}
\]
因此最终结果为：
\[
\frac{e^x}{1+x} + C
\]
公式：\frac{e^x}{1+x} + C
提示：化简时注意通分，确保结果简洁。
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