南京师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
八、（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)$ ：是 $\displaystyle [a, b] \times[c,+\infty)$ 上的非负连续函数，$\displaystyle I(x)=\int_{c}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y$在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上连续．证明：$\displaystyle I(x)$ 在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上一致收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确要证明的目标
根据一致收敛的定义，我们要证明：对任意 $\varepsilon > 0$，存在一个与 $x$ 无关的 $A > c$，使得当任意 $t_2 > t_1 \ge A$ 时，有 $\left|\int_{t_1}^{t_2} f(x, y) \, dy\right| < \varepsilon$ 对所有 $x \in [a, b]$ 同时成立。由于 $f \ge 0$，绝对值可去掉，只需证 $\int_{t_1}^{t_2} f(x, y) \, dy < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists A > c, \forall t_2 > t_1 \ge A, \forall x \in [a, b]: \int_{t_1}^{t_2} f(x, y) \, dy < \varepsilon
提示：注意非负性简化了绝对值处理，这是证明的关键起点。
步骤 2/6
目标：利用 $I(x)$ 的连续性对每个 $x$ 找到局部截断点
因为 $I(x) = \int_c^{+\infty} f(x, y) \, dy$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，对任意给定的 $\varepsilon > 0$，对每个固定的 $x_0 \in [a, b]$，由广义积分收敛的定义，存在 $A_{x_0} > c$，使得当 $t \ge A_{x_0}$ 时，$\int_t^{+\infty} f(x_0, y) \, dy < \frac{\varepsilon}{2}$。特别地，取 $t = A_{x_0}$，有 $\int_{A_{x_0}}^{+\infty} f(x_0, y) \, dy < \frac{\varepsilon}{2}$。
公式：\int_{A_{x_0}}^{+\infty} f(x_0, y) \, dy < \frac{\varepsilon}{2}
提示：这里 $A_{x_0}$ 依赖于 $x_0$，我们需要通过后续步骤将其统一。
步骤 3/6
目标：利用 $f$ 的连续性将局部性质扩展到邻域
考虑函数 $R_{x_0}(x) = \int_{A_{x_0}}^{+\infty} f(x, y) \, dy = I(x) - \int_c^{A_{x_0}} f(x, y) \, dy$。由于 $f$ 连续，$\int_c^{A_{x_0}} f(x, y) \, dy$ 关于 $x$ 连续，$I(x)$ 也连续，故 $R_{x_0}(x)$ 在 $x_0$ 处连续。由 $R_{x_0}(x_0) < \frac{\varepsilon}{2}$，存在 $\delta_{x_0} > 0$，使得当 $|x - x_0| < \delta_{x_0}$ 且 $x \in [a, b]$ 时，$R_{x_0}(x) < \varepsilon$。
公式：R_{x_0}(x) = \int_{A_{x_0}}^{+\infty} f(x, y) \, dy, \quad \forall x \in (x_0 - \delta_{x_0}, x_0 + \delta_{x_0}) \cap [a, b]: R_{x_0}(x) < \varepsilon
提示：这一步的关键是证明余项函数 $R_{x_0}(x)$ 的连续性，从而得到局部一致控制。
步骤 4/6
目标：应用有限覆盖定理构造公共截断点
开区间族 $\{ (x_0 - \delta_{x_0}, x_0 + \delta_{x_0}) \}_{x_0 \in [a, b]}$ 覆盖了闭区间 $[a, b]$。由有限覆盖定理，存在有限个点 $x_1, x_2, \dots, x_n$，使得对应的开区间覆盖 $[a, b]$。取 $A = \max\{A_{x_1}, A_{x_2}, \dots, A_{x_n}\}$。
公式：A = \max_{1 \le i \le n} A_{x_i}
提示：有限覆盖定理是处理一致性问题的重要工具，注意这里取最大值是因为 $f \ge 0$，更大的积分下限会使积分值更小。
步骤 5/6
目标：验证公共截断点满足一致收敛条件
对任意 $x \in [a, b]$，存在某个 $i$ 使得 $x \in (x_i - \delta_{x_i}, x_i + \delta_{x_i})$。由于 $A \ge A_{x_i}$ 且 $f \ge 0$，有 $\int_A^{+\infty} f(x, y) \, dy \le \int_{A_{x_i}}^{+\infty} f(x, y) \, dy < \varepsilon$。因此，对任意 $t_2 > t_1 \ge A$，有 $\int_{t_1}^{t_2} f(x, y) \, dy \le \int_A^{+\infty} f(x, y) \, dy < \varepsilon$，对所有 $x \in [a, b]$ 成立。
公式：\forall x \in [a, b], \forall t_2 > t_1 \ge A: \int_{t_1}^{t_2} f(x, y) \, dy < \varepsilon
提示：注意不等式方向：积分下限越大，积分区间越短，非负函数积分值越小，因此 $A \ge A_{x_i}$ 保证了余项更小。
步骤 6/6
目标：总结结论
由以上步骤，我们证明了 $I(x) = \int_c^{+\infty} f(x, y) \, dy$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛。
公式：I(x) \text{ 在 } [a, b] \text{ 上一致收敛}
提示：证明的核心是利用 $I(x)$ 的连续性和有限覆盖定理，将逐点收敛提升为一致收敛。
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