南京师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
十、（15 分）已知正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 发散，讨论以下级数的玫散性并给出理由．
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{1+x_{n}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{1+n x_{n}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{1+n^{2} x_{n}}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析第一个级数 ∑ xₙ/(1+xₙ) 的敛散性
已知正项级数 ∑ xₙ 发散，且 xₙ ≥ 0。考虑两种情况：
1. 若 {xₙ} 有子列趋于无穷，则对应项 xₙ/(1+xₙ) → 1，级数发散。
2. 若 {xₙ} 有界，即存在 M > 0 使得 xₙ ≤ M，则 xₙ/(1+xₙ) ≥ xₙ/(1+M)。由 ∑ xₙ 发散及比较判别法知该级数发散。
综上，第一个级数发散。
公式：\frac{x_n}{1+x_n} \geq \frac{x_n}{1+M} \quad (x_n \leq M)
提示：注意 xₙ 无界时项趋近于1，有界时用比较法，两种情况均发散。
步骤 2/4
目标：分析第二个级数 ∑ xₙ/(1+n xₙ) 的敛散性
假设 ∑ xₙ/(1+n xₙ) 收敛，则通项趋于0。此时有两种可能：
- 若 n xₙ → ∞，则 xₙ/(1+n xₙ) ~ 1/n，与调和级数发散矛盾。
- 故必有 xₙ → 0。当 n 充分大时，1+n xₙ ≤ 2，从而 xₙ/(1+n xₙ) ≥ xₙ/2。由 ∑ xₙ 发散及比较判别法知该级数发散。
因此第二个级数发散。
公式：\frac{x_n}{1+n x_n} \geq \frac{x_n}{2} \quad (\text{当 } n \text{ 充分大时})
提示：反证法结合两种极限情况的讨论是关键，注意 xₙ → 0 是必要条件。
步骤 3/4
目标：分析第三个级数 ∑ xₙ/(1+n² xₙ) 的敛散性
对任意 xₙ ≥ 0，有不等式：
\frac{x_n}{1+n^2 x_n} \leq \frac{x_n}{n^2 x_n} = \frac{1}{n^2} \quad (x_n > 0)
当 xₙ = 0 时该项为0，不影响。由于 ∑ 1/n² 收敛，由比较判别法知该级数收敛。
公式：\frac{x_n}{1+n^2 x_n} \leq \frac{1}{n^2}
提示：分母中的 n² 提供了足够的衰减，直接与 p-级数比较即可。
步骤 4/4
目标：总结三个级数的敛散性结论
根据以上分析：
- 第一个级数 ∑ xₙ/(1+xₙ) 发散。
- 第二个级数 ∑ xₙ/(1+n xₙ) 发散。
- 第三个级数 ∑ xₙ/(1+n² xₙ) 收敛。
提示：注意第三个级数总是收敛，与 xₙ 的具体形式无关。
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