南京师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
4．设 $f(x)$ 可微，$y=f(\ln x) e^{f(x)}$ ，求 $\mathrm{d} y$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确微分的定义与求解思路
对于一元函数 $y = y(x)$，其微分定义为 $\mathrm{d}y = y'(x) \, \mathrm{d}x$。因此，要求 $\mathrm{d}y$，只需先求出 $y$ 对 $x$ 的导数 $y'(x)$。
公式：$$\mathrm{d}y = y'(x) \, \mathrm{d}x$$
提示：注意微分的最终形式必须包含 $\mathrm{d}x$ 因子。
步骤 2/5
目标：识别函数结构并应用乘积法则
已知 $y = f(\ln x) \, e^{f(x)}$。令 $u = f(\ln x)$，$v = e^{f(x)}$，则 $y = u \cdot v$。由乘积法则：$y' = u' v + u v'$。
公式：$$(uv)' = u'v + uv'$$
提示：不要混淆乘积法则与复合函数求导的顺序。
步骤 3/5
目标：分别求 $u'$ 和 $v'$
1. 对于 $u = f(\ln x)$，这是复合函数：外层为 $f$，内层为 $\ln x$，故 $u' = f'(\ln x) \cdot \frac{1}{x}$。
2. 对于 $v = e^{f(x)}$，这也是复合函数：外层为指数函数 $e^{\cdot}$，内层为 $f(x)$，故 $v' = e^{f(x)} \cdot f'(x)$。
公式：$$u' = f'(\ln x) \cdot \frac{1}{x}, \quad v' = e^{f(x)} f'(x)$$
提示：注意 $f'(\ln x)$ 表示 $f$ 的导数在 $\ln x$ 处的取值，不要写成 $f'(\ln x) \cdot \frac{1}{x}$ 的乘积形式混淆。
步骤 4/5
目标：代入乘积法则并整理表达式
将 $u', v, u, v'$ 代入 $y' = u'v + uv'$，得：
$$y' = \left[ f'(\ln x) \cdot \frac{1}{x} \right] e^{f(x)} + f(\ln x) \cdot \left[ e^{f(x)} f'(x) \right]$$
提取公因子 $e^{f(x)}$，得到：
$$y' = e^{f(x)} \left[ \frac{1}{x} f'(\ln x) + f(\ln x) f'(x) \right]$$
公式：$$y' = e^{f(x)} \left( \frac{f'(\ln x)}{x} + f(\ln x) f'(x) \right)$$
提示：提取公因子时注意各项的系数，确保没有遗漏。
步骤 5/5
目标：写出最终的微分形式
根据微分定义 $\mathrm{d}y = y'(x) \, \mathrm{d}x$，将求得的 $y'$ 代入，即得：
$$\mathrm{d}y = e^{f(x)} \left( \frac{f'(\ln x)}{x} + f(\ln x) f'(x) \right) \mathrm{d}x$$
公式：$$\mathrm{d}y = e^{f(x)} \left( \frac{f'(\ln x)}{x} + f(\ln x) f'(x) \right) \mathrm{d}x$$
提示：最终答案必须包含 $\mathrm{d}x$，且括号内两项的顺序不影响结果。
步骤 6/7
目标：提取公因子化简
两项都有公因子 $e^{f(x)} \mathrm{d}x$，提取后得：
$\mathrm{d}y = e^{f(x)} \left[ \frac{f'(\ln x)}{x} + f(\ln x) f'(x) \right] \mathrm{d}x$。
提示：提取公因子时注意括号内各项的符号，这里都是加号。
步骤 7/7
目标：写出最终结果
因此，所求微分为：
$\boxed{\mathrm{d}y = e^{f(x)} \left( \frac{f'(\ln x)}{x} + f(\ln x) f'(x) \right) \mathrm{d}x}$。
提示：最终结果应包含 $\mathrm{d}x$，表示微分形式。
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