南京师范大学 2022年数学分析第0题
📝 题目
六、（15 分）证明：若 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 I 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，并且对 $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, f_{n}(x)$在 I 上有界，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 I 上一致有界。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和待证结论
已知函数列 $\{f_n(x)\}$ 在区间 $I$ 上一致收敛于 $f(x)$，即对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N \in \mathbb{N}$，使得当 $n > N$ 时，对一切 $x \in I$ 有 $|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$。又已知每个 $f_n(x)$ 在 $I$ 上有界，即存在常数 $M_n > 0$，使得 $|f_n(x)| \le M_n$ 对一切 $x \in I$ 成立。需要证明存在公共常数 $M > 0$，使得对所有 $n \in \mathbb{N}$ 和所有 $x \in I$，都有 $|f_n(x)| \le M$。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N, \forall x \in I: |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$
提示：注意区分“一致有界”与“逐点有界”：一致有界要求存在一个与 $n$ 和 $x$ 都无关的公共上界。
步骤 2/5
目标：证明极限函数 $f(x)$ 在 $I$ 上有界
由一致收敛定义，取 $\varepsilon = 1$，则存在 $N_0 \in \mathbb{N}$，使得当 $n > N_0$ 时，对一切 $x \in I$ 有 $|f_n(x) - f(x)| < 1$。固定一个 $n_0 > N_0$，利用三角不等式：$|f(x)| \le |f_{n_0}(x) - f(x)| + |f_{n_0}(x)| < 1 + M_{n_0}$。由于右边与 $x$ 无关，故 $f(x)$ 在 $I$ 上有界，记其上界为 $M_f$。
公式：$|f(x)| \le |f_{n_0}(x) - f(x)| + |f_{n_0}(x)| < 1 + M_{n_0}$
提示：这里利用了 $f_{n_0}$ 的有界性 $M_{n_0}$，以及一致收敛给出的 $|f_{n_0}(x) - f(x)| < 1$，注意 $n_0$ 必须大于 $N_0$。
步骤 3/5
目标：利用一致收敛控制所有足够大的 $n$ 对应的函数
再次取 $\varepsilon = 1$，由一致收敛定义，存在 $N \in \mathbb{N}$，使得对所有 $n > N$ 和所有 $x \in I$，有 $|f_n(x) - f(x)| < 1$。于是对任意 $n > N$ 和任意 $x \in I$，有 $|f_n(x)| \le |f_n(x) - f(x)| + |f(x)| < 1 + M_f$。这表明所有下标大于 $N$ 的函数都被 $1 + M_f$ 一致控制。
公式：$|f_n(x)| \le |f_n(x) - f(x)| + |f(x)| < 1 + M_f$
提示：这里 $N$ 可能与第一步中的 $N_0$ 不同，但我们可以直接取同一个 $\varepsilon=1$ 对应的 $N$，不影响推理。
步骤 4/5
目标：处理前有限个函数，构造公共上界
对于 $n = 1, 2, \dots, N$，每个 $f_n$ 在 $I$ 上有界，设其上界分别为 $M_1, M_2, \dots, M_N$。取 $M = \max\{M_1, M_2, \dots, M_N, \, 1 + M_f\}$。则对于 $n \le N$，有 $|f_n(x)| \le M_n \le M$；对于 $n > N$，有 $|f_n(x)| < 1 + M_f \le M$。因此对所有 $n \in \mathbb{N}$ 和所有 $x \in I$，都有 $|f_n(x)| \le M$。
公式：$M = \max\{M_1, M_2, \dots, M_N, \, 1 + M_f\}$
提示：前有限个函数的有界性只保证每个函数各自有界，但它们的界可能不同，取最大值即可统一。注意 $1+M_f$ 已经是一个确定的数。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，我们找到了一个公共常数 $M > 0$，使得对所有 $n \in \mathbb{N}$ 和所有 $x \in I$，都有 $|f_n(x)| \le M$。根据一致有界的定义，函数列 $\{f_n(x)\}$ 在区间 $I$ 上一致有界。证毕。
公式：$\forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in I: |f_n(x)| \le M$
提示：一致有界的关键在于存在一个与 $n$ 和 $x$ 都无关的公共上界，这里通过“先控无穷尾，再取有限头”的方法实现。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，存在常数M>0，使得对所有n∈ℕ和所有x∈I，有|f_n(x)| ≤ M，即函数列{f_n(x)}在I上一致有界。
公式：\exists M>0, \forall n\in\mathbb{N}, \forall x\in I: |f_n(x)| \leq M
提示：一致有界的定义就是存在一个与n和x无关的公共界，这里已经构造出M。
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