南京师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1、求极限： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{x}-\sin x\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别未定式类型并取自然对数
当 $x \to 0$ 时，底数 $e^x - \sin x \to 1$，指数 $\frac{1}{x^2} \to +\infty$，因此极限是 $1^\infty$ 型未定式。设 $L = \lim_{x \to 0} (e^x - \sin x)^{1/x^2}$，取自然对数得 $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(e^x - \sin x)}{x^2}$，此时分子分母均趋于 $0$，化为 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
公式：\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(e^x - \sin x)}{x^2}
提示：注意检查底数是否趋于1，指数是否趋于无穷，确保是1^∞型。
步骤 2/5
目标：对底数进行泰勒展开
将 $e^x$ 和 $\sin x$ 在 $x=0$ 处展开到足够高阶：
$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + O(x^5)$，
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)$。
相减得：
$e^x - \sin x = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots\right) - \left(x - \frac{x^3}{6} + \cdots\right) = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{24} + O(x^5)$。
公式：e^x - \sin x = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{24} + O(x^5)
提示：注意 $x$ 项相消，$x^3$ 项系数为 $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$，不要遗漏。
步骤 3/5
目标：对底数的对数进行泰勒展开
令 $u = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{24} + O(x^5)$，则 $\ln(e^x - \sin x) = \ln(1+u)$。利用 $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \cdots$，展开到 $x^4$ 项：
$u = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{24} + O(x^5)$，
$u^2 = \left(\frac{x^2}{2}\right)^2 + 2 \cdot \frac{x^2}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + \cdots = \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{3} + O(x^6)$，
因此 $\ln(e^x - \sin x) = \left(\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{24}\right) - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^4}{4} + O(x^5) = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \left(\frac{1}{24} - \frac{1}{8}\right)x^4 + O(x^5) = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{12} + O(x^5)$。
公式：\ln(e^x - \sin x) = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{12} + O(x^5)
提示：展开 $\ln(1+u)$ 时，$u^2$ 项只取到 $x^4$ 阶，注意 $u^3$ 及以上阶数不影响 $x^4$ 项。
步骤 4/5
目标：除以 $x^2$ 并求极限
将展开式除以 $x^2$：
$\frac{\ln(e^x - \sin x)}{x^2} = \frac{1}{2} + \frac{x}{3} - \frac{x^2}{12} + O(x^3)$。
当 $x \to 0$ 时，后三项均趋于 $0$，因此极限为 $\frac{1}{2}$。即 $\ln L = \frac{1}{2}$。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\ln(e^x - \sin x)}{x^2} = \frac{1}{2}
提示：注意 $x^3$ 项除以 $x^2$ 后为 $\frac{x}{3}$，趋于0，不要误以为它影响极限。
步骤 5/5
目标：还原原极限并写出答案
由 $\ln L = \frac{1}{2}$ 得 $L = e^{1/2} = \sqrt{e}$。因此原极限为 $\sqrt{e}$。
公式：L = e^{1/2} = \sqrt{e}
提示：取对数后别忘了还原，最终答案要写成 $\sqrt{e}$ 或 $e^{1/2}$。
步骤 6/6
目标：还原原极限
由 $\lim_{x \to 0} \ln y = \frac{1}{2}$，得 $\lim_{x \to 0} y = e^{1/2} = \sqrt{e}$。
公式：$\lim_{x \to 0} (e^x - \sin x)^{1/x^2} = \sqrt{e}$
提示：指数函数连续，因此极限可交换顺序。
步骤 7/7
目标：取指数得原极限
由 $\lim_{x \to 0} \ln y = \frac{1}{2}$，得 $\lim_{x \to 0} y = e^{1/2}$。
公式：$\lim_{x \to 0} (e^x - \sin x)^{1/x^2} = e^{1/2}$
提示：注意极限运算与指数函数的连续性：若 $\lim \ln y = L$，则 $\lim y = e^L$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。