📝 南京师范大学 2023年数学分析真题

1、求极限： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{x}-\sin x\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ．

2、求不定积分： $\int x \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．

3、设 $0<k<1, a>0$ ，求极限

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{n-1}} k+\cdots+a k^{n-1}+k^{n}\right)
$$

4、设 $f(u, v)$ 具有二阶连续的偏导数，且 $z=f\left(x^{2}-y^{2}, e^{x y}\right)$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．

1、用定积分计算极限

$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}\left(\arctan \frac{1}{n}+\arctan \frac{2}{n}+\cdots+\arctan \frac{n}{n}\right) .
$$

2、判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ 的敛散性（绝对收敛还是条件收敛）。

1、用定义证明：$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(1,+\infty)$ 上一致连续，在 $(0,1)$ 上非一致连续．

2、判断 $\displaystyle 1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}+\cdots$ 是否收玫？

1、证明：存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi) \mid \geq M$ ．

2、若对任意的 $x \in(0,2)$ ，有 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \leq M$ ，证明

$$
f(x) \equiv 0, x \in[0,2] .
$$

1、举例说明上述命题是假命题．

2、在原命题上修改，使其为真命题，并证明．

1、叙述实数系完备性中的确定原理与闭区间套定理．

2、用闭区间套定理证明确界原理．

四、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,2]$ 上连续，在开区间 $\displaystyle (0,2)$ 上可导，且 $\displaystyle f(\mathbf{0})=f(\mathbf{2})=\mathbf{0}$ 。记 $\displaystyle M=\max _{x \in[0,2]}\{|f(x)|\}$ 。