南京师范大学 2023年数学分析第0题

确界原理（确界存在定理）是实数系完备性的核心定理之一，其表述为：任何非空且有上界的实数集 $S \subseteq \mathbb{R}$，在实数系中必有上确界（最小上界），记作 $\sup S$；任何非空且有下界的实数集 $T \subseteq \mathbb{R}$，在实数系中必有下确界（最大下界），记作 $\inf T$。这一性质保证了实数集没有“漏洞”，例如有理数集中集合 $\{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}$ 有上界但在 $\mathbb{Q}$ 中无上确界，而实数系中则存在 $\sup = \sqrt{2}$。

闭区间套定理是实数系完备性的另一个等价表述，其内容为：设有一列闭区间 $\{[a_n, b_n]\}_{n=1}^\infty$，满足：(1) 区间逐层包含，即 $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]$ 对所有 $n \in \mathbb{N}$ 成立；(2) 区间长度趋于零，即 $\lim_{n\to\infty} (b_n - a_n) = 0$。则存在唯一的一点 $\xi \in \mathbb{R}$ 属于所有这些闭区间，即 $\xi \in \bigcap_{n=1}^\infty [a_n, b_n]$。

在实数理论中，确界原理与闭区间套定理是等价的，均可作为刻画实数完备性的基本性质。例如，可由确界原理证明闭区间套定理：设区间套 $\{[a_n, b_n]\}$，则集合 $\{a_n\}$ 有上界 $b_1$，由确界原理存在 $\sup\{a_n\} = \xi$，且易证 $\xi$ 属于所有区间；反之，可由闭区间套定理证明确界原理：通过构造二分区间套逼近上确界。这种等价性体现了实数系的完备性。

确界原理直接刻画了实数的连续性，是实数系区别于有理数系的关键性质。闭区间套定理常用于证明连续函数的性质（如介值定理、一致连续性）以及构造实数。两者等价，都是实数完备性的重要表现形式。

确界原理：任何非空有上界的实数集必有上确界（最小上界）；任何非空有下界的实数集必有下确界（最大下界）。闭区间套定理：若一列闭区间\([a_n, b_n]\)满足\([a_{n+1}, b_{n+1}] \subseteq [a_n, b_n]\)且\(\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0\)，则存在唯一实数\(\xi\)属于所有区间，即\(\bigcap_{n=1}^{\infty}[a_n,b_n]=\{\xi\}\)。

确界原理和闭区间套定理都是实数系完备性的等价表述，它们可以互相推导。确界原理更基础，常作为公理；闭区间套定理在分析学中用于证明连续函数的性质（如介值定理、一致连续性等）。