南京师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1、举例说明上述命题是假命题．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确原命题
假设原命题为：“若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 可导。”这是一个典型的假命题，需要举反例说明。
提示：注意：连续是可导的必要条件，而非充分条件。
步骤 2/7
目标：选择反例函数
选取经典反例 $f(x) = |x|$，并考察其在 $x=0$ 处的性质。
公式：f(x) = |x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}
提示：绝对值函数是常见的连续但不可导的例子。
步骤 3/7
目标：验证连续性
计算 $\lim_{x \to 0} |x| = 0$，且 $f(0) = 0$，因此 $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
公式：\lim_{x \to 0} |x| = 0 = f(0)
提示：连续性只需验证极限值等于函数值。
步骤 4/7
目标：计算左导数
左导数定义为 $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$。代入 $f(h)=|h|=-h$（因为 $h<0$），得 $\lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$。
公式：f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1
提示：注意 $h<0$ 时 $|h|=-h$。
步骤 5/7
目标：计算右导数
右导数定义为 $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$。代入 $f(h)=|h|=h$（因为 $h>0$），得 $\lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$。
公式：f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1
提示：注意 $h>0$ 时 $|h|=h$。
步骤 6/7
目标：判断可导性
左导数 $-1$ 与右导数 $1$ 不相等，因此 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处不可导。
公式：f'_-(0) \neq f'_+(0) \Rightarrow \text{不可导}
提示：可导的充要条件是左右导数存在且相等。
步骤 7/7
目标：得出结论
函数 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可导，因此原命题“若函数在某点连续，则在该点可导”是假命题。
提示：反例只需一个即可推翻全称命题。
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