南京师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1、用定积分计算极限
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}\left(\arctan \frac{1}{n}+\arctan \frac{2}{n}+\cdots+\arctan \frac{n}{n}\right) .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别黎曼和的形式
观察极限表达式：
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}\left(\arctan \frac{1}{n}+\arctan \frac{2}{n}+\cdots+\arctan \frac{n}{n}\right)
$$
其中每一项为 \(\arctan \frac{k}{n}\)，乘以 \(\frac{1}{n}\) 后，这正是函数 \(f(x) = \arctan x\) 在区间 \([0,1]\) 上的黎曼和形式：
$$
\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)
$$
公式：\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \to \int_0^1 f(x) \, dx \quad (n \to \infty)
提示：注意求和从 \(k=1\) 到 \(n\)，对应区间 \([0,1]\) 上的右端点取点，这是黎曼和的常见形式。
步骤 2/6
目标：将极限转化为定积分
根据黎曼和的定义，当 \(n \to \infty\) 时，上述和式收敛到函数 \(f(x) = \arctan x\) 在 \([0,1]\) 上的定积分：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \arctan\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 \arctan x \, dx
$$
公式：\int_0^1 \arctan x \, dx
提示：确保被积函数在区间上连续，这样黎曼和极限才等于定积分。
步骤 3/6
目标：使用分部积分法计算定积分
计算 \(\int_0^1 \arctan x \, dx\)，令 \(u = \arctan x\)，\(dv = dx\)，则 \(du = \frac{1}{1+x^2} dx\)，\(v = x\)。由分部积分公式：
$$
\int_0^1 \arctan x \, dx = \left[ x \arctan x \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx
$$
公式：\int u \, dv = uv - \int v \, du
提示：分部积分时，选择 \(u\) 为反三角函数，\(dv\) 为 \(dx\)，这样 \(du\) 会简化。
步骤 4/6
目标：计算边界项
计算 \(\left[ x \arctan x \right]_0^1\)：
$$
\left[ x \arctan x \right]_0^1 = 1 \cdot \arctan 1 - 0 \cdot \arctan 0 = \frac{\pi}{4}
$$
公式：\arctan 1 = \frac{\pi}{4}
提示：注意 \(\arctan 0 = 0\)，代入时不要遗漏。
步骤 5/6
目标：计算剩余积分
计算 \(\int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx\)，使用换元法：令 \(t = 1+x^2\)，则 \(dt = 2x dx\)，即 \(x dx = \frac{1}{2} dt\)。当 \(x=0\) 时 \(t=1\)，当 \(x=1\) 时 \(t=2\)，于是：
$$
\int_0^1 \frac{x}{1+x^2} dx = \frac12 \int_1^2 \frac{1}{t} dt = \frac12 \left[ \ln t \right]_1^2 = \frac12 \ln 2
$$
公式：\int \frac{1}{t} dt = \ln |t| + C
提示：换元时注意积分限的变换，且 \(1+x^2 > 0\)，绝对值可省略。
步骤 6/6
目标：合并结果得到极限值
将边界项和积分结果代入：
$$
\int_0^1 \arctan x \, dx = \frac{\pi}{4} - \frac12 \ln 2
$$
因此原极限为：
$$
\boxed{\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2}
$$
公式：\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2
提示：最终结果是一个常数，注意 \(\ln 2\) 是自然对数。
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