南京师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
3、设 $0<k<1, a>0$ ，求极限
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{n-1}} k+\cdots+a k^{n-1}+k^{n}\right)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确求和表达式并规范表示
题目所求极限为：
$$
\lim_{n \to +\infty} \left( a^{\frac{1}{n}} + a^{\frac{1}{n-1}} k + a^{\frac{1}{n-2}} k^2 + \cdots + a k^{n-1} + k^n \right)
$$
将其写成求和形式。令 $j = n-i$，当 $i=0$ 时 $j=n$，当 $i=n-1$ 时 $j=1$，最后一项 $k^n$ 单独处理，可得：
$$
S_n = k^n + \sum_{j=1}^{n} a^{1/j} \, k^{n-j}
$$
公式：S_n = k^n + \sum_{j=1}^{n} a^{1/j} k^{n-j}
提示：注意最后一项 $k^n$ 对应 $a^{1/0}$ 无定义，因此单独写出，避免分母为零。
步骤 2/5
目标：提取公因子并改写形式
从求和部分提取公因子 $k^n$：
$$
\sum_{j=1}^{n} a^{1/j} k^{n-j} = k^n \sum_{j=1}^{n} a^{1/j} k^{-j}
$$
于是
$$
S_n = k^n + k^n \sum_{j=1}^{n} a^{1/j} k^{-j} = k^n \left( 1 + \sum_{j=1}^{n} a^{1/j} k^{-j} \right)
$$
公式：S_n = k^n \left( 1 + \sum_{j=1}^{n} a^{1/j} k^{-j} \right)
提示：由于 $0
步骤 3/5
目标：分析系数行为并考虑逐项极限
将原式重新索引为 $S_n = \sum_{i=0}^{n} c_{n,i} k^i$，其中当 $ii$，$c_{n,i}$ 有界：若 $a \ge 1$，则 $1 \le c_{n,i} \le a$；若 $0
公式：c_{n,i} = a^{1/(n-i)} \to 1 \quad (n \to \infty, \, i \text{固定})
提示：系数有界且逐点收敛到1，这是应用控制收敛思想的基础。
步骤 4/5
目标：利用截断法证明极限为几何级数
对任意固定的 $N$，将 $S_n$ 分为两部分：
$$
S_n = \sum_{i=0}^{N} c_{n,i} k^i + \sum_{i=N+1}^{n} c_{n,i} k^i
$$
第一部分：当 $n \to \infty$ 时，$c_{n,i} \to 1$，故
$$
\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{N} c_{n,i} k^i = \sum_{i=0}^{N} k^i
$$
第二部分：利用 $|c_{n,i}| \le M = \max(1, a)$，有
$$
\left| \sum_{i=N+1}^{n} c_{n,i} k^i \right| \le M \sum_{i=N+1}^{\infty} k^i = M \frac{k^{N+1}}{1-k}
$$
当 $N$ 足够大时，此项可以任意小。因此
$$
\lim_{n \to \infty} S_n = \sum_{i=0}^{\infty} k^i = \frac{1}{1-k}
$$
公式：\lim_{n \to \infty} S_n = \sum_{i=0}^{\infty} k^i = \frac{1}{1-k}
提示：关键技巧：固定 $N$ 先取极限再让 $N \to \infty$，利用 $k<1$ 控制尾部。
步骤 5/5
目标：得出结论并说明结果与a无关
最终极限为：
$$
\boxed{\frac{1}{1-k}}
$$
该结果与 $a>0$ 无关，因为当 $n$ 很大时，$a^{1/j} \to 1$，主导项为几何级数 $\sum k^i$。
公式：\frac{1}{1-k}
提示：注意 $0
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