南京师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
4、设 $f(u, v)$ 具有二阶连续的偏导数，且 $z=f\left(x^{2}-y^{2}, e^{x y}\right)$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入中间变量，明确复合函数结构
令 $u = x^2 - y^2$, $v = e^{xy}$，则 $z = f(u, v)$。
公式：$u = x^2 - y^2$, $v = e^{xy}$
提示：注意中间变量是 $x,y$ 的函数，后续求导需使用链式法则。
步骤 2/6
目标：求一阶偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$
由链式法则：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = f_u \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + f_v \cdot \frac{\partial v}{\partial x}$$
计算：
$$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = y e^{xy}$$
所以：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x f_u + y e^{xy} f_v$$
公式：$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x f_u + y e^{xy} f_v$
提示：$f_u, f_v$ 仍是 $u,v$ 的函数，不能当作常数。
步骤 3/6
目标：对 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 关于 $y$ 求偏导，分解为两项
$$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(2x f_u) + \frac{\partial}{\partial y}(y e^{xy} f_v)$$
公式：$\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(2x f_u) + \frac{\partial}{\partial y}(y e^{xy} f_v)$
提示：由于二阶偏导连续，求导顺序可交换，但此处按定义先 $x$ 后 $y$。
步骤 4/6
目标：计算第一项 $\frac{\partial}{\partial y}(2x f_u)$
$$\frac{\partial}{\partial y}(2x f_u) = 2x \cdot \frac{\partial f_u}{\partial y}$$
而 $f_u$ 是 $u,v$ 的函数，故：
$$\frac{\partial f_u}{\partial y} = f_{uu} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_{uv} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}$$
计算：
$$\frac{\partial u}{\partial y} = -2y, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = x e^{xy}$$
所以：
$$\frac{\partial f_u}{\partial y} = -2y f_{uu} + x e^{xy} f_{uv}$$
代入得：
$$\frac{\partial}{\partial y}(2x f_u) = 2x(-2y f_{uu} + x e^{xy} f_{uv}) = -4xy f_{uu} + 2x^2 e^{xy} f_{uv}$$
公式：$\frac{\partial}{\partial y}(2x f_u) = -4xy f_{uu} + 2x^2 e^{xy} f_{uv}$
提示：注意 $f_{uv}$ 是混合偏导，由于连续性，$f_{uv}=f_{vu}$。
步骤 5/6
目标：计算第二项 $\frac{\partial}{\partial y}(y e^{xy} f_v)$
使用乘积法则：
$$\frac{\partial}{\partial y}(y e^{xy} f_v) = \frac{\partial}{\partial y}(y e^{xy}) \cdot f_v + y e^{xy} \cdot \frac{\partial f_v}{\partial y}$$
先求 $\frac{\partial}{\partial y}(y e^{xy})$：
$$\frac{\partial}{\partial y}(y e^{xy}) = e^{xy} + y \cdot x e^{xy} = e^{xy}(1+xy)$$
再求 $\frac{\partial f_v}{\partial y}$：
$$\frac{\partial f_v}{\partial y} = f_{vu} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + f_{vv} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = f_{uv} \cdot (-2y) + f_{vv} \cdot (x e^{xy}) = -2y f_{uv} + x e^{xy} f_{vv}$$
代入得：
$$\frac{\partial}{\partial y}(y e^{xy} f_v) = e^{xy}(1+xy) f_v + y e^{xy}(-2y f_{uv} + x e^{xy} f_{vv})$$
化简：
$$= (1+xy)e^{xy} f_v - 2y^2 e^{xy} f_{uv} + x y e^{2xy} f_{vv}$$
公式：$\frac{\partial}{\partial y}(y e^{xy} f_v) = (1+xy)e^{xy} f_v - 2y^2 e^{xy} f_{uv} + x y e^{2xy} f_{vv}$
提示：注意 $f_{vu}=f_{uv}$，且 $e^{xy}$ 对 $y$ 求导时要乘以 $x$。
步骤 6/6
目标：合并两项得到最终结果
将第一项和第二项相加：
$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \left(-4xy f_{uu} + 2x^2 e^{xy} f_{uv}\right) + \left((1+xy)e^{xy} f_v - 2y^2 e^{xy} f_{uv} + x y e^{2xy} f_{vv}\right)$$
合并 $f_{uv}$ 的系数：
$$2x^2 e^{xy} - 2y^2 e^{xy} = 2e^{xy}(x^2 - y^2)$$
因此：
$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -4xy f_{uu} + 2(x^2 - y^2) e^{xy} f_{uv} + (1+xy)e^{xy} f_v + x y e^{2xy} f_{vv}$$
公式：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -4xy f_{uu} + 2(x^2 - y^2) e^{xy} f_{uv} + (1+xy)e^{xy} f_v + x y e^{2xy} f_{vv}$
提示：最终结果中 $f_{uu}, f_{uv}, f_v, f_{vv}$ 均为 $u,v$ 的函数，$u=x^2-y^2$, $v=e^{xy}$。
步骤 7/7
目标：合并两项并化简
将两项相加：
$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = (-4xy f_{uu} + 2x^2 e^{xy} f_{uv}) + (e^{xy} f_v + xy e^{xy} f_v - 2y^2 e^{xy} f_{vu} + xy e^{2xy} f_{vv}).$$ 利用 $f_{uv}=f_{vu}$ 合并 $f_{uv}$ 项：
$$= -4xy f_{uu} + (2x^2 e^{xy} - 2y^2 e^{xy}) f_{uv} + (1+xy)e^{xy} f_v + xy e^{2xy} f_{vv}.$$ 即
$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -4xy f_{uu} + 2(x^2-y^2)e^{xy} f_{uv} + (1+xy)e^{xy} f_v + xy e^{2xy} f_{vv}.$$ 其中 $f_u, f_v, f_{uu}, f_{uv}, f_{vv}$ 均在 $(u,v)=(x^2-y^2, e^{xy})$ 处取值。
提示：最终结果中 $f_{uv}$ 的系数可提取公因子 $2e^{xy}$，注意符号。
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