南京师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1、用定义证明：$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(1,+\infty)$ 上一致连续，在 $(0,1)$ 上非一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明在(1,+∞)上一致连续：写出要证明的ε-δ定义
我们要证明：对任意ε>0，存在δ>0，使得对任意x₁,x₂∈(1,+∞)，只要|x₁-x₂|<δ，就有|f(x₁)-f(x₂)|<ε。
公式：∀ε>0, ∃δ>0, ∀x₁,x₂∈(1,+∞): |x₁-x₂|<δ ⇒ |1/x₁-1/x₂|<ε
提示：明确一致连续定义中δ只依赖于ε，不依赖于x₁,x₂的位置。
步骤 2/6
目标：计算函数值差并放缩
计算|f(x₁)-f(x₂)|=|1/x₁-1/x₂|=|x₂-x₁|/(x₁x₂)。由于x₁,x₂>1，所以x₁x₂>1，从而|x₂-x₁|/(x₁x₂)<|x₂-x₁|。
公式：|f(x₁)-f(x₂)| = |x₂-x₁|/(x₁x₂) < |x₂-x₁|
提示：利用分母大于1进行放缩是关键，注意x₁,x₂在(1,+∞)时x₁x₂>1恒成立。
步骤 3/6
目标：选取δ并验证一致连续性
取δ=ε，则当|x₁-x₂|<δ时，有|f(x₁)-f(x₂)|<|x₁-x₂|<ε，满足定义。因此f(x)在(1,+∞)上一致连续。
公式：δ=ε ⇒ |f(x₁)-f(x₂)|<|x₁-x₂|<ε
提示：δ的选取直接来自放缩结果，注意这里δ与x₁,x₂无关。
步骤 4/6
目标：证明在(0,1)上非一致连续：写出要否定的定义
要证明非一致连续，需找到某个ε₀>0，使得对任意δ>0，都存在x₁,x₂∈(0,1)满足|x₁-x₂|<δ但|f(x₁)-f(x₂)|≥ε₀。
公式：∃ε₀>0, ∀δ>0, ∃x₁,x₂∈(0,1): |x₁-x₂|<δ 且 |1/x₁-1/x₂|≥ε₀
提示：非一致连续的证明关键是构造反例，通常选取趋于边界点的序列。
步骤 5/6
目标：选取ε₀并构造反例点
取ε₀=1。对任意给定的δ>0（不妨设δ<1以保证点在区间内），取x₁=δ/2，x₂=δ，则x₁,x₂∈(0,1)。计算|x₁-x₂|=δ/2<δ。
公式：x₁=δ/2, x₂=δ ⇒ |x₁-x₂|=δ/2<δ
提示：构造的点要保证距离小于δ，同时函数值差足够大，通常取一个点靠近0。
步骤 6/6
目标：计算函数值差并验证反例
计算|f(x₁)-f(x₂)|=|2/δ-1/δ|=1/δ。由于δ>0，当δ很小时1/δ很大，特别地1/δ≥1=ε₀。因此对任意δ>0，存在两点满足条件，故f(x)在(0,1)上非一致连续。
公式：|f(x₁)-f(x₂)|=1/δ ≥ 1 = ε₀
提示：注意δ可以任意小，因此1/δ可以任意大，确保大于等于ε₀。这里ε₀取1是方便的，也可以取其他正数。
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