南京师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2、判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ 的敛散性（绝对收敛还是条件收敛）。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断是否绝对收敛
考虑绝对值级数：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \left| (-1)^{n+1} \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)
\]
由于当 $n \to \infty$ 时，$\ln(1+1/n) \sim 1/n$，更精确地，由极限比较判别法：
\[
\lim_{n\to\infty} \frac{\ln(1+1/n)}{1/n} = 1
\]
而调和级数 $\sum 1/n$ 发散，故该正项级数发散，因此原级数不是绝对收敛的。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{\ln(1+1/n)}{1/n} = 1
提示：注意使用等价无穷小替换时，需确认极限比较判别法的条件成立。
步骤 2/3
目标：判断是否条件收敛——验证莱布尼茨判别法条件
原级数为交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n$，其中 $a_n = \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) > 0$。
首先验证单调递减性：考虑函数 $f(x)=\ln(1+1/x)$，$x>0$，求导得
\[
f'(x) = \frac{-1}{x(x+1)} < 0
\]
故 $f(x)$ 严格递减，从而 $a_n$ 严格递减。
其次验证极限：
\[
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) = \ln 1 = 0
\]
两个条件均满足，由莱布尼茨判别法，原交错级数收敛。
公式：f'(x) = \frac{-1}{x(x+1)} < 0, \quad \lim_{n\to\infty} \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) = 0
提示：莱布尼茨判别法要求 $a_n$ 单调递减且趋于0，缺一不可。
步骤 3/3
目标：得出最终结论
由于绝对值级数发散，而原级数本身收敛，因此原级数条件收敛。
提示：条件收敛意味着级数收敛但不绝对收敛，需同时验证这两点。
步骤 4/4
目标：综合判断敛散性类型
原级数收敛（由莱布尼茨判别法），但绝对值级数发散（由比较判别法），因此原级数条件收敛。
公式：\text{条件收敛：级数收敛但绝对值级数发散}
提示：条件收敛意味着级数的收敛依赖于正负项抵消，改变项的顺序可能导致发散或收敛到不同值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。