南京师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2、在原命题上修改，使其为真命题，并证明．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别原命题并判断真假
原命题为：“如果数列 {aₙ} 有界，那么它一定收敛。” 这是一个假命题，因为有界性不能保证收敛性。例如，数列 aₙ = (-1)ⁿ 满足 |aₙ| ≤ 1，有界，但它在 1 和 -1 之间振荡，不收敛。
公式：a_n = (-1)^n
提示：注意有界是收敛的必要条件，但不是充分条件。
步骤 2/6
目标：修改原命题为真命题
为了使其成为真命题，需要加强条件。一个经典的真命题是：**“如果数列 {aₙ} 单调且有界，那么它一定收敛。”** 这是数学分析中的单调有界定理。
提示：单调性加上有界性可以保证收敛，这是充分条件。
步骤 3/6
目标：证明单调递增有上界的情形
设数列 {aₙ} 单调递增且有上界。由确界原理，存在上确界 A = sup{aₙ : n ∈ ℕ}。我们要证明 lim_{n→∞} aₙ = A。
公式：A = \sup\{a_n : n \in \mathbb{N}\}
提示：确界原理是实数完备性的体现，是证明的基础。
步骤 4/6
目标：利用极限定义进行证明
对任意 ε > 0，由确界定义，存在某个 N ∈ ℕ，使得 a_N > A - ε。由于数列单调递增，当 n ≥ N 时，有 aₙ ≥ a_N > A - ε。同时，显然 aₙ ≤ A，因此 A - ε < aₙ ≤ A，即 |aₙ - A| < ε 对所有 n ≥ N 成立。由极限定义，数列收敛于 A。
公式：|a_n - A| < \varepsilon \quad (n \geq N)
提示：注意单调递增时，从 N 之后所有项都大于 a_N，这是关键。
步骤 5/6
目标：补充单调递减有下界的情形
若数列 {aₙ} 单调递减且有下界，则考虑数列 {-aₙ}，它是单调递增且有上界的，由已证结论知 {-aₙ} 收敛，从而 {aₙ} 也收敛。或者直接类似地证明：设下确界 B = inf{aₙ}，则对任意 ε > 0，存在 N 使得 a_N < B + ε，由单调递减性，当 n ≥ N 时，B ≤ aₙ ≤ a_N < B + ε，故 |aₙ - B| < ε，收敛于 B。
公式：B = \inf\{a_n : n \in \mathbb{N}\}
提示：单调递减情形的证明与递增对称，注意符号处理。
步骤 6/6
目标：总结真命题及其证明
因此，修改后的真命题为：“如果数列单调且有界，则它一定收敛。” 证明已通过单调递增有上界和单调递减有下界两种情形完成。
提示：该定理是实数完备性的重要推论，常用于证明其他收敛性问题。
步骤 7/7
目标：得出结论
由极限定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，$\left| \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n} - A \right| < \varepsilon$，故
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} = A.
\]
命题得证。
提示：证明完成，注意逆命题不成立，不要混淆。
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