南京师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2、判断 $\displaystyle 1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}+\cdots$ 是否收玫？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别级数类型与通项
观察级数 $\displaystyle 1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}+\cdots$，其通项为 $a_n = \frac{1}{n^2}$，且所有项均为正数，因此这是一个正项级数。
公式：a_n = \frac{1}{n^2}
提示：注意通项趋于0是收敛的必要条件，但不是充分条件，仍需进一步判别。
步骤 2/5
目标：回忆p-级数判别法
对于形如 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 的级数，称为p-级数。已知结论：当 $p>1$ 时级数收敛；当 $p \le 1$ 时级数发散。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \quad \begin{cases} \text{收敛}, & p>1 \\ \text{发散}, & p \le 1 \end{cases}
提示：p=1时即为调和级数，发散；p>1时收敛，这是重要结论，可直接使用。
步骤 3/5
目标：应用p-级数判别法判断收敛性
本题中 $p=2$，满足 $p>1$，因此根据p-级数判别法，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛。
公式：p = 2 > 1 \Rightarrow \text{收敛}
提示：不要与调和级数（p=1）混淆，p=2时收敛速度较快。
步骤 4/5
目标：用积分判别法验证（可选）
考虑函数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$，在 $[1, +\infty)$ 上单调递减且非负。计算反常积分：$\displaystyle \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} \, dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_1^{+\infty} = 0 - (-1) = 1$，积分收敛，由积分判别法知原级数收敛。
公式：\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} \, dx = 1 < +\infty
提示：积分判别法适用于正项且通项单调递减的级数，此处作为验证手段。
步骤 5/5
目标：得出最终结论
综合以上判别，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛。实际上其和为 $\frac{\pi^2}{6}$，但题目只要求判断收敛性。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} \quad (\text{已知结果})
提示：仅需回答收敛与否，不必计算和。
步骤 6/6
目标：补充说明（可选）
该级数的和是著名的 $\displaystyle \frac{\pi^2}{6}$，由欧拉证明。但本题仅要求判断收敛性，无需计算和值。
公式：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$
提示：不要混淆判断收敛性与求和，题目只要求判断是否收敛。
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