南京师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
四、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,2]$ 上连续，在开区间 $\displaystyle (0,2)$ 上可导，且 $\displaystyle f(\mathbf{0})=f(\mathbf{2})=\mathbf{0}$ 。记 $\displaystyle M=\max _{x \in[0,2]}\{|f(x)|\}$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析题目条件，明确结论方向
已知函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,2]$ 上连续，在开区间 $(0,2)$ 上可导，且 $f(0)=f(2)=0$。记 $M=\max_{x\in[0,2]}\{|f(x)|\}$。由于题目未给出具体要证明的结论，按常见题型，我们需证明存在一点 $c\in(0,2)$，使得 $|f'(c)|\ge M$。
公式：M = \max_{x\in[0,2]}\{|f(x)|\}
提示：注意 $M$ 是 $|f(x)|$ 的最大值，而非 $f(x)$ 的最大值，因此 $M\ge 0$。
步骤 2/7
目标：处理特殊情况 M=0
若 $M=0$，则 $|f(x)|\equiv 0$，即 $f(x)\equiv 0$ 在 $[0,2]$ 上恒成立。此时对任意 $c\in(0,2)$，有 $f'(c)=0$，故 $|f'(c)|=0\ge M$ 成立，结论显然。下面考虑 $M>0$ 的情况。
公式：M=0 \Rightarrow f(x)\equiv 0 \Rightarrow |f'(c)|=0\ge M
提示：不要忽略 $M=0$ 的平凡情形，它使证明更完整。
步骤 3/7
目标：找到最大值点并假设符号
由于 $M>0$，存在 $x_0\in(0,2)$ 使得 $|f(x_0)|=M$。不妨先设 $f(x_0)=M>0$（若 $f(x_0)=-M$，可考虑 $-f(x)$，其导数绝对值相同，结论不变）。
公式：\exists x_0\in(0,2),\; |f(x_0)|=M
提示：注意 $x_0$ 不能是端点，因为 $f(0)=f(2)=0$，而 $M>0$，所以 $x_0$ 必在开区间内。
步骤 4/7
目标：在左子区间应用拉格朗日中值定理
在区间 $[0,x_0]$ 上，$f(x)$ 连续可导，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_1\in(0,x_0)$ 使得：
$$f'(\xi_1)=\frac{f(x_0)-f(0)}{x_0-0}=\frac{M}{x_0}.$$
公式：f'(\xi_1)=\frac{M}{x_0}
提示：注意分母 $x_0>0$，且 $f(0)=0$。
步骤 5/7
目标：在右子区间应用拉格朗日中值定理
在区间 $[x_0,2]$ 上，同样由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_2\in(x_0,2)$ 使得：
$$f'(\xi_2)=\frac{f(2)-f(x_0)}{2-x_0}=\frac{0-M}{2-x_0}=-\frac{M}{2-x_0}.$$
公式：f'(\xi_2)=-\frac{M}{2-x_0}
提示：注意 $f(2)=0$，且 $2-x_0>0$。
步骤 6/7
目标：取绝对值并比较分母大小
对上述两式取绝对值，得：
$$|f'(\xi_1)|=\frac{M}{x_0},\quad |f'(\xi_2)|=\frac{M}{2-x_0}.$$
由于 $x_0\in(0,2)$，$x_0$ 与 $2-x_0$ 中必有一个不大于 $1$（因为若 $x_0>1$，则 $2-x_0<1$；若 $x_0\le 1$，则 $x_0\le 1$）。因此对应的那个导数的绝对值 $\ge M$。
公式：\min\{x_0,\,2-x_0\}\le 1 \Rightarrow \frac{M}{\min\{x_0,2-x_0\}}\ge M
提示：这一推理的关键是 $x_0$ 和 $2-x_0$ 的和为 $2$，因此至少有一个不超过 $1$。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此，存在一点 $c\in(0,2)$（取 $c=\xi_1$ 或 $c=\xi_2$ 中使得分母较小的那个），使得 $|f'(c)|\ge M$。结论得证。
公式：\exists c\in(0,2),\; |f'(c)|\ge M
提示：结论中的不等式是 $\ge$，不是严格大于，因为当 $x_0=1$ 时，两个导数绝对值都等于 $M$。
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