南京师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
1、证明：存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi) \mid \geq M$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确题目条件与结论
设函数 \( f(x) \) 在 \([0,2]\) 上连续，在 \((0,2)\) 内可导，且满足 \( f(0)=f(2)=0 \)，并设 \( M = \max_{x \in [0,2]} |f(x)| > 0 \)。需要证明存在 \( \xi \in (0,2) \) 使得 \( |f'(\xi)| \ge M \)。
提示：注意 M 是函数绝对值的最大值，且端点值为0，这是经典题型的常见条件。
步骤 2/6
目标：取到最大值的内点
由于 \( f \) 在闭区间上连续，存在 \( c \in [0,2] \) 使得 \( |f(c)| = M \)。若 \( c=0 \) 或 \( c=2 \)，则 \( M=0 \)，与 \( M>0 \) 矛盾，故 \( c \in (0,2) \)。不妨设 \( f(c)=M \)（若 \( f(c)=-M \)，类似可证）。
提示：最大值点不能在端点，否则 M=0 结论平凡，通常题目隐含 M>0。
步骤 3/6
目标：分情况讨论 c 的位置
考虑 \( c \) 相对于区间中点 1 的位置：
- 若 \( 0 < c \le 1 \)，则在区间 \([0,c]\) 上应用拉格朗日中值定理。
- 若 \( 1 \le c < 2 \)，则在区间 \([c,2]\) 上应用拉格朗日中值定理。
提示：分情况是为了确保分母不超过1，从而导数绝对值不小于 M。
步骤 4/6
目标：情况一：c ≤ 1
在 \([0,c]\) 上，由拉格朗日中值定理，存在 \( \xi_1 \in (0,c) \) 使得
\[ f'(\xi_1) = \frac{f(c)-f(0)}{c-0} = \frac{M}{c}. \]
由于 \( 0 < c \le 1 \)，有 \( \frac{M}{c} \ge M \)，故 \( |f'(\xi_1)| \ge M \)。
公式：f'(\xi_1) = \frac{M}{c}
提示：注意分母 c ≤ 1，所以分式值 ≥ M。
步骤 5/6
目标：情况二：c ≥ 1
在 \([c,2]\) 上，由拉格朗日中值定理，存在 \( \xi_2 \in (c,2) \) 使得
\[ f'(\xi_2) = \frac{f(2)-f(c)}{2-c} = \frac{-M}{2-c}. \]
取绝对值得 \( |f'(\xi_2)| = \frac{M}{2-c} \)。由于 \( 1 \le c < 2 \)，有 \( 2-c \le 1 \)，故 \( \frac{M}{2-c} \ge M \)，即 \( |f'(\xi_2)| \ge M \)。
公式：|f'(\xi_2)| = \frac{M}{2-c}
提示：注意 2-c ≤ 1，所以分式值 ≥ M。
步骤 6/6
目标：综合结论
无论 \( c \) 在 \((0,2]\) 的左侧还是右侧，总存在 \( \xi \in (0,2) \)（即 \( \xi_1 \) 或 \( \xi_2 \)）使得 \( |f'(\xi)| \ge M \)。证毕。
提示：此证明依赖于最大值点不在端点，且拉格朗日中值定理保证导数的存在性。
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