南京师范大学 2023年数学分析第0题
📝 题目
2、求不定积分： $\int x \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用三角恒等式降幂，化简被积函数
由三角恒等式 $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$，代入原积分得：
$$
\int x \cos^2 x \, dx = \int x \cdot \frac{1 + \cos 2x}{2} \, dx = \frac12 \int x \, dx + \frac12 \int x \cos 2x \, dx
$$
公式：$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
提示：降幂是处理三角函数偶次幂的常用技巧，注意系数不要遗漏。
步骤 2/5
目标：计算第一个简单积分
计算 $\frac12 \int x \, dx$：
$$
\frac12 \int x \, dx = \frac12 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4}
$$
公式：$\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$
提示：幂函数积分公式直接应用，注意乘以系数 $\frac12$。
步骤 3/5
目标：对第二个积分应用分部积分法
令 $u = x$，$dv = \cos 2x \, dx$，则 $du = dx$，$v = \frac{\sin 2x}{2}$。
由分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ 得：
$$
\int x \cos 2x \, dx = \frac{x \sin 2x}{2} - \int \frac{\sin 2x}{2} \, dx = \frac{x \sin 2x}{2} - \frac12 \int \sin 2x \, dx
$$
公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：选择 $u = x$ 是因为求导后简化，$dv$ 应易于积分。注意 $\cos 2x$ 的原函数是 $\frac{\sin 2x}{2}$。
步骤 4/5
目标：计算剩余积分并整理
计算 $\int \sin 2x \, dx = -\frac{\cos 2x}{2}$，代入上式：
$$
\int x \cos 2x \, dx = \frac{x \sin 2x}{2} - \frac12 \left( -\frac{\cos 2x}{2} \right) = \frac{x \sin 2x}{2} + \frac{\cos 2x}{4}
$$
公式：$\int \sin 2x \, dx = -\frac{\cos 2x}{2}$
提示：注意负号的处理，避免符号错误。
步骤 5/5
目标：合并结果并写出最终不定积分
将两个部分的结果合并：
$$
\frac{x^2}{4} + \frac12 \left( \frac{x \sin 2x}{2} + \frac{\cos 2x}{4} \right) + C = \frac{x^2}{4} + \frac{x \sin 2x}{4} + \frac{\cos 2x}{8} + C
$$
公式：无新公式
提示：合并时注意系数相乘，不要忘记加上积分常数 $C$。
步骤 6/6
目标：写出最终结果
将第一部分和第二部分结果相加，并加上积分常数 $C$：
$$\int x \cos^2 x \, dx = \frac{x^2}{4} + \frac{x \sin 2x}{4} + \frac{\cos 2x}{8} + C$$
公式：无新公式
提示：不要忘记加上任意常数 $C$。
步骤 7/7
目标：检查结果是否可进一步简化
可以利用二倍角公式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$，$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ 等，但通常保留 $\sin 2x$ 和 $\cos 2x$ 的形式已经足够简洁，无需进一步化简。
提示：除非题目有特殊要求，否则保留二倍角形式即可。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。