南京师范大学 2023年数学分析第0题

设非空实数集 \(S\) 有上界。取 \(S\) 的一个上界 \(b_1\)，再取 \(S\) 中某个元素 \(a_1\)，则 \(a_1 \leq b_1\)。若 \(a_1 = b_1\)，则 \(a_1\) 即为上确界，结论成立。现考虑 \(a_1 < b_1\) 的情形，构造第一个闭区间 \(I_1 = [a_1, b_1]\)，其中左端点 \(a_1\) 不是 \(S\) 的上界，右端点 \(b_1\) 是 \(S\) 的上界。

假设已得到区间 \([a_k, b_k]\)，其中 \(a_k\) 不是 \(S\) 的上界，\(b_k\) 是 \(S\) 的上界。取中点 \(m_k = \frac{a_k + b_k}{2}\)。若 \(m_k\) 是 \(S\) 的上界，则令 \(a_{k+1} = a_k,\ b_{k+1} = m_k\)；否则（即存在 \(x \in S\) 使得 \(x > m_k\)），令 \(a_{k+1} = m_k,\ b_{k+1} = b_k\)。得到新区间 \(I_{k+1} = [a_{k+1}, b_{k+1}]\)，满足 \(I_{k+1} \subseteq I_k\)，且长度减半。

重复上述步骤，得到一列闭区间 \([a_1, b_1] \supseteq [a_2, b_2] \supseteq \cdots \supseteq [a_n, b_n] \supseteq \cdots\)，且区间长度 \(b_n - a_n = \frac{b_1 - a_1}{2^{n-1}} \to 0\)。由闭区间套定理，存在唯一的实数 \(c\) 属于所有区间，且 \(\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = c\)。

对任意 \(x \in S\)，由于每个 \(b_n\) 都是 \(S\) 的上界，故 \(x \leq b_n\) 对所有 \(n\) 成立。令 \(n \to \infty\)，得 \(x \leq \lim_{n\to\infty} b_n = c\)。因此 \(c\) 是 \(S\) 的一个上界。

假设存在 \(d < c\) 且 \(d\) 是 \(S\) 的上界。由于 \(a_n \to c\)，当 \(n\) 充分大时，有 \(a_n > d\)。但每个 \(a_n\) 都不是 \(S\) 的上界，故存在 \(x_n \in S\) 使得 \(x_n > a_n > d\)，这与 \(d\) 是上界矛盾。因此任何小于 \(c\) 的数都不是上界，即 \(c\) 是上确界。

上述构造与证明表明：对于任意非空有上界的实数集\(S\)，通过二分法构造闭区间套，其唯一公共点即为\(S\)的上确界。类似地，对下界情形可对称证明。因此，闭区间套定理蕴含确界原理。

综上，我们证明了非空有上界的实数集 \(S\) 必有上确界。对于下确界的情况，可以类似地通过取负号或对称构造闭区间套来证明。因此，确界原理成立。