南京师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
一、计算题。（每题 5 分，共 20 分）
（1）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \tan ^{n}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right)$ ．
（2）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty}\left[f(x)-f^{\prime}(x)\right]=2023$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ ．
（3）求定积分 $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \mathrm{~d} x,(a>0)$ ．
（4）交换积分顺序
$$
\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \mathrm{~d} x \int_{\frac{1}{2}}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算极限 (1)：将 tan 展开为有理形式并取对数
令 $a_n = \tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right)$，利用正切加法公式：
$$
\tan\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right) = \frac{1+\tan\frac{1}{n}}{1-\tan\frac{1}{n}}.
$$
当 $n\to\infty$ 时，$\tan\frac{1}{n} \sim \frac{1}{n}$，于是
$$
a_n \approx \frac{1+\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n}} = 1+\frac{2}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right).
$$
取对数：
$$
\ln(a_n^n) = n\ln a_n \approx n\cdot\frac{2}{n}=2.
$$
因此原极限为 $e^2$。
公式：\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}
提示：注意 $\tan\frac{1}{n}\sim\frac{1}{n}$ 的等价无穷小替换，以及 $n\ln(1+\frac{2}{n})\to 2$。
步骤 2/5
目标：计算极限 (2)：构造辅助函数并利用微分方程
已知 $\lim_{x\to -\infty}[f(x)-f'(x)]=2023$。考虑微分方程 $f-f'=2023$ 的特解为常数 $f=2023$，齐次解为 $Ce^x$。故通解为 $f(x)=2023+Ce^x$。当 $x\to -\infty$ 时，$Ce^x\to 0$，因此 $\lim_{x\to -\infty}f(x)=2023$。
公式：f(x)-f'(x)=2023 \Rightarrow f(x)=2023+Ce^x
提示：也可令 $g(x)=e^{-x}f(x)$，则 $g'(x)=-e^{-x}[f(x)-f'(x)]$，积分后得到相同结论。
步骤 3/5
目标：计算定积分 (3)：三角换元化简
令 $x=a\cos 2t$，则 $dx=-2a\sin 2t\,dt$，当 $x=0$ 时 $t=\pi/4$，$x=a$ 时 $t=0$。
$$
\sqrt{\frac{a-x}{a+x}} = \sqrt{\frac{1-\cos 2t}{1+\cos 2t}} = \tan t,\quad x^2 = a^2\cos^2 2t.
$$
积分化为
$$
I = \int_{\pi/4}^0 a^2\cos^2 2t \cdot \tan t \cdot (-2a\sin 2t)\,dt = 2a^3\int_0^{\pi/4}\cos^2 2t\cdot \frac{\sin t}{\cos t}\cdot \sin 2t\,dt.
$$
利用 $\sin 2t = 2\sin t\cos t$，得 $\frac{\sin t}{\cos t}\cdot\sin 2t = 2\sin^2 t$，于是
$$
I = 4a^3\int_0^{\pi/4}\cos^2 2t\sin^2 t\,dt.
$$
公式：\cos^2 2t = \frac{1+\cos 4t}{2},\quad \sin^2 t = \frac{1-\cos 2t}{2}
提示：换元后注意积分限的变化，以及三角恒等式的正确使用。
步骤 4/5
目标：计算定积分 (3)：利用倍角公式展开并积分
将 $\cos^2 2t\sin^2 t$ 展开：
$$
\cos^2 2t\sin^2 t = \frac{1}{4}(1+\cos 4t)(1-\cos 2t) = \frac{1}{4}\left(1-\frac{3}{2}\cos 2t+\cos 4t-\frac{1}{2}\cos 6t\right).
$$
因此
$$
I = 4a^3\cdot\frac{1}{4}\int_0^{\pi/4}\left(1-\frac{3}{2}\cos 2t+\cos 4t-\frac{1}{2}\cos 6t\right)dt = a^3\left[t-\frac{3}{4}\sin 2t+\frac{1}{4}\sin 4t-\frac{1}{12}\sin 6t\right]_0^{\pi/4}.
$$
代入上下限：$t=\pi/4$ 时，$\sin 2t=1,\sin 4t=0,\sin 6t=-1$，得
$$
I = a^3\left(\frac{\pi}{4}-\frac{3}{4}+\frac{1}{12}\right) = a^3\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}\right).
$$
公式：\int_0^{\pi/4}\cos(kt)\,dt = \frac{1}{k}\sin\left(\frac{k\pi}{4}\right)
提示：注意 $\sin 6\cdot\frac{\pi}{4}=\sin\frac{3\pi}{2}=-1$，避免符号错误。
步骤 5/5
目标：交换积分顺序 (4)：画出积分区域并确定边界
原积分为两部分：
1. $\frac{1}{2}\le x\le \frac{1}{\sqrt{2}}$，$\frac{1}{2}\le y\le x$；
2. $\frac{1}{\sqrt{2}}\le x\le 1$，$x^2\le y\le x$。
区域由 $y=x$（上边界）、$y=\frac{1}{2}$（左下方水平线）和 $y=x^2$（右下方抛物线）围成。两条下边界交于 $x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 处（此时 $\frac{1}{2}=(\frac{1}{\sqrt{2}})^2$）。
交换顺序后，先对 $x$ 后对 $y$ 积分。$y$ 的范围为 $\frac{1}{2}\le y\le 1$。
- 当 $\frac{1}{2}\le y\le \frac{1}{\sqrt{2}}$ 时，$x$ 从 $y$（直线 $x=y$）到 $\frac{1}{\sqrt{2}}$（垂直线）；
- 当 $\frac{1}{\sqrt{2}}\le y\le 1$ 时，$x$ 从 $\sqrt{y}$（抛物线 $x=\sqrt{y}$）到 $y$（直线 $x=y$）。
因此交换后的积分为：
$$
\int_{1/2}^{1/\sqrt{2}} dy \int_{y}^{1/\sqrt{2}} f(x,y)\,dx + \int_{1/\sqrt{2}}^{1} dy \int_{\sqrt{y}}^{y} f(x,y)\,dx.
$$
公式：积分区域边界：$y=x$，$y=x^2$，$y=1/2$，$x=1/\sqrt{2}$
提示：注意 $y$ 的分段点 $1/\sqrt{2}$ 是由 $y=x$ 与 $y=x^2$ 的交点 $x=1/\sqrt{2}$ 确定的。
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