📝 南京师范大学 2024年数学分析真题
第0题
一、计算题。（每题 5 分，共 20 分）
（1）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \tan ^{n}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right)$ ．
（2）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty}\left[f(x)-f^{\prime}(x)\right]=2023$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ ．
（3）求定积分 $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \mathrm{~d} x,(a>0)$ ．
（4）交换积分顺序
$$
\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \mathrm{~d} x \int_{\frac{1}{2}}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y .
$$
（1）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \tan ^{n}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right)$ ．
（2）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty}\left[f(x)-f^{\prime}(x)\right]=2023$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ ．
（3）求定积分 $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \mathrm{~d} x,(a>0)$ ．
（4）交换积分顺序
$$
\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \mathrm{~d} x \int_{\frac{1}{2}}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y .
$$
第0题
七、（20 分）解答如下问题：
（1）已知二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续，且
$$
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-x y^{2}}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1 .
$$
试着问：点 $\displaystyle (0,0)$ 是否为二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 的驻点？进一步讨论点 $\displaystyle (0,0)$ 是否为二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 的极值点？若是，是极大值点还是极小值点？若不是，请说明理由．
（2）设 $\displaystyle u(x, y, z)$ ，且令 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=r \sin \varphi \cos \theta \\ y=r \sin \varphi \sin \theta \\ z=r \cos \varphi\end{array}\right.$ ，若
$$
x u_{x}+y u_{y}+z u_{z}=0
$$
证明：$u$ 仅为 $\displaystyle \theta$ 与 $\displaystyle \varphi$ 的函数．
（1）已知二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续，且
$$
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-x y^{2}}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1 .
$$
试着问：点 $\displaystyle (0,0)$ 是否为二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 的驻点？进一步讨论点 $\displaystyle (0,0)$ 是否为二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 的极值点？若是，是极大值点还是极小值点？若不是，请说明理由．
（2）设 $\displaystyle u(x, y, z)$ ，且令 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=r \sin \varphi \cos \theta \\ y=r \sin \varphi \sin \theta \\ z=r \cos \varphi\end{array}\right.$ ，若
$$
x u_{x}+y u_{y}+z u_{z}=0
$$
证明：$u$ 仅为 $\displaystyle \theta$ 与 $\displaystyle \varphi$ 的函数．
第0题
三、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，且对任何的 $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$ ，有
$$
f(x+y)=f(x)+f(y) .
$$
证明：（1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续．
（2）对 $\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}$ ，有 $\displaystyle f(x)=f(1) \cdot x$ ．
$$
f(x+y)=f(x)+f(y) .
$$
证明：（1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续．
（2）对 $\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}$ ，有 $\displaystyle f(x)=f(1) \cdot x$ ．
第0题
九、（15 分）计算曲面积分
$$
I=\iint_{S}\left(x^{2} \cos \alpha+y^{2} \cos \beta+z^{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S
$$
其中 $S$ 为圆锥曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 上位于 $\displaystyle 0 \leq z \leq h$ 的一部分．其法向量恒与 $z$ 轴正向相交成锐角， $\displaystyle \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 为法向量的方向余弦．
$$
I=\iint_{S}\left(x^{2} \cos \alpha+y^{2} \cos \beta+z^{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S
$$
其中 $S$ 为圆锥曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 上位于 $\displaystyle 0 \leq z \leq h$ 的一部分．其法向量恒与 $z$ 轴正向相交成锐角， $\displaystyle \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 为法向量的方向余弦．
第0题
二、（15 分）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫于 $a$ 。
（1）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+\cdots+n \cdot a_{n}}{n}=0$ ．
（2）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n a_{1}+(n-1) a_{2}+(n-2) a_{3}+\cdots+1 \cdot a_{n}}{n}$ ．
（1）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+\cdots+n \cdot a_{n}}{n}=0$ ．
（2）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n a_{1}+(n-1) a_{2}+(n-2) a_{3}+\cdots+1 \cdot a_{n}}{n}$ ．
第0题
五、（15 分）解答如下问题：
（1）证明：若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 均在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则有
$$
\left[\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right]^{2} \leq \int_{a}^{b}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x \int_{a}^{b}[g(x)]^{2} \mathrm{~d} x
$$
（2）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上有连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x \leq \frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x$ ．
（1）证明：若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 均在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则有
$$
\left[\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right]^{2} \leq \int_{a}^{b}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x \int_{a}^{b}[g(x)]^{2} \mathrm{~d} x
$$
（2）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上有连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x \leq \frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x$ ．
第0题
八、（15 分）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-\alpha)^{n} n!}{n^{n}},(\alpha>0)$ 的敛散性．若收敛，请指出是条件收敛还是绝对收敛。
第0题
六、（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调递减，且
$$
f(x)>0, x \in[a,+\infty) .
$$
证明：反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 玫散性相同．
$$
f(x)>0, x \in[a,+\infty) .
$$
证明：反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 玫散性相同．
第0题
十、（10 分）证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos \left(x^{2}\right)}{x^{y}} \mathrm{~d} x$ 关于参变量 $y$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 里内闭一致收敛．
第0题
四、（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上二次可微，且
$$
f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)=0
$$
证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得：
$$
\left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geq \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|
$$
$$
f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)=0
$$
证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得：
$$
\left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geq \frac{4}{(b-a)^{2}}|f(b)-f(a)|
$$