南京师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
八、（15 分）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-\alpha)^{n} n!}{n^{n}},(\alpha>0)$ 的敛散性．若收敛，请指出是条件收敛还是绝对收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出级数一般项并取绝对值
原级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-\alpha)^{n} n!}{n^{n}}$，其中 $\alpha>0$。令 $a_n = \frac{(-\alpha)^{n} n!}{n^{n}}$，则绝对值项为 $b_n = |a_n| = \frac{\alpha^{n} n!}{n^{n}}$。
公式：$b_n = \frac{\alpha^{n} n!}{n^{n}}$
提示：注意 $(-\alpha)^n$ 的符号交替，先考虑绝对收敛性。
步骤 2/5
目标：用比值判别法判断绝对值级数的收敛性
计算比值极限：
$$
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\alpha^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^{n}}{\alpha^{n} n!} = \alpha \cdot \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} = \alpha \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n} = \frac{\alpha}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}.
$$
取极限得：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\alpha}{e}.
$$
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\alpha}{e}$
提示：利用重要极限 $\lim_{n\to\infty} (1+1/n)^n = e$。
步骤 3/5
目标：根据比值极限讨论绝对收敛性
由比值审敛法：
- 若 $\frac{\alpha}{e} < 1$，即 $\alpha < e$，则 $\sum b_n$ 收敛，原级数绝对收敛。
- 若 $\frac{\alpha}{e} > 1$，即 $\alpha > e$，则 $\sum b_n$ 发散，且通项 $b_n$ 不趋于0，原级数发散。
- 若 $\frac{\alpha}{e} = 1$，即 $\alpha = e$，需单独判断。
公式：比值极限与1比较
提示：注意比值极限大于1时通项不趋于0，级数必发散。
步骤 4/5
目标：讨论边界情况 $\alpha = e$
当 $\alpha = e$ 时，$b_n = \frac{e^n n!}{n^n}$。利用斯特林公式 $n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$，得
$$
b_n \sim \frac{e^n \cdot \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n}{n^n} = \sqrt{2\pi n} \to \infty,
$$
故 $b_n$ 不趋于0，从而原级数通项 $a_n$ 也不趋于0，级数发散。
公式：$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$
提示：斯特林公式用于处理阶乘与幂的比值，注意通项不趋于0则级数必发散。
步骤 5/5
目标：总结敛散性结论
综合以上讨论：
- 当 $0 < \alpha < e$ 时，级数绝对收敛。
- 当 $\alpha \ge e$ 时，级数发散。
不存在条件收敛的情况，因为绝对收敛与发散的分界清晰，且 $\alpha = e$ 时通项不趋于0。
公式：无
提示：注意条件收敛需要级数本身收敛而绝对值发散，此处未出现此类情形。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上所述：
- 当 $0 < \alpha < e$ 时，级数绝对收敛；
- 当 $\alpha \ge e$ 时，级数发散。
公式：无
提示：注意 $\alpha > 0$ 是题目条件，$\alpha = e$ 属于发散情形。
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