南京师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
三、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，且对任何的 $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$ ，有
$$
f(x+y)=f(x)+f(y) .
$$
证明：（1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续．
（2）对 $\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}$ ，有 $\displaystyle f(x)=f(1) \cdot x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明f(0)=0
在函数方程 $f(x+y)=f(x)+f(y)$ 中，令 $x=y=0$，得到 $f(0)=f(0)+f(0)$，因此 $f(0)=0$。
公式：f(0)=0
提示：注意不要遗漏这一步，它是后续推导的基础。
步骤 2/6
目标：利用f在0处的连续性得到极限性质
已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $f(0)=0$，所以 $\lim_{h \to 0} f(h) = f(0) = 0$。
公式：\lim_{h \to 0} f(h) = 0
提示：连续性定义：$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。
步骤 3/6
目标：证明f在任意点x0连续
对任意 $x_0 \in \mathbb{R}$，考虑 $f(x) - f(x_0) = f((x-x_0)+x_0) - f(x_0) = f(x-x_0) + f(x_0) - f(x_0) = f(x-x_0)$。当 $x \to x_0$ 时，令 $h = x - x_0 \to 0$，则 $\lim_{x \to x_0} [f(x)-f(x_0)] = \lim_{h \to 0} f(h) = 0$，即 $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$。
公式：f(x)-f(x_0)=f(x-x_0)
提示：核心技巧：将任意点的连续性转化为0点的连续性。
步骤 4/6
目标：证明整数情况：f(n)=n f(1)
用数学归纳法：当 $n=1$ 时显然成立。假设 $f(k)=k f(1)$，则 $f(k+1)=f(k)+f(1)=k f(1)+f(1)=(k+1)f(1)$。对负整数，令 $y=-n$，由 $f(0)=f(n)+f(-n)$ 得 $0=n f(1)+f(-n)$，所以 $f(-n)=-n f(1)$。
公式：f(n)=n f(1),\quad f(-n)=-n f(1)
提示：注意负整数需要单独处理，利用f(0)=0。
步骤 5/6
目标：证明有理数情况：f(r)=r f(1)
设 $r = \frac{p}{q}$（$q>0$ 整数），令 $f\left(\frac{p}{q}\right)=c$，则 $f(p)=f\left(q \cdot \frac{p}{q}\right)=q c$。又 $f(p)=p f(1)$，所以 $q c = p f(1)$，解得 $c = \frac{p}{q} f(1)$。
公式：f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{p}{q} f(1)
提示：关键步骤：利用整数结果和加性将有理数转化为整数倍数。
步骤 6/6
目标：利用连续性推广到全体实数
对任意实数 $x$，取有理数列 $\{r_n\}$ 使得 $r_n \to x$。由第一问已证 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，所以 $f(x)=\lim_{n \to \infty} f(r_n)=\lim_{n \to \infty} r_n f(1)=x f(1)$。
公式：f(x)=x f(1)
提示：连续性保证了极限与函数符号可交换，这是从有理数到实数的桥梁。
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