南京师范大学 2024年数学分析第0题

原积分为 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos(x^2)}{x^y} \, dx$，其中 $y \in (-1,1)$。积分在 $x \to 0^+$ 时，$x^{-y}$ 的阶数在 $-1$ 到 $1$ 之间，因此 $x=0$ 附近可能可积；在 $x \to +\infty$ 时，被积函数振荡且衰减，需判断条件收敛。

令 $t = x^2$，则 $x = \sqrt{t}$，$dx = \frac{1}{2\sqrt{t}} dt$。代入得： $$\int_{0}^{+\infty} \frac{\cos(x^2)}{x^y} \, dx = \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos t}{t^{y/2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{t}} \, dt = \frac12 \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos t}{t^{(y+1)/2}} \, dt.$$ 记 $\alpha = \frac{y+1}{2}$，则 $y \in (-1,1)$ 对应 $\alpha \in (0,1)$，原积分等价于 $\frac12 \int_0^{+\infty} \frac{\cos t}{t^\alpha} \, dt$。

将积分拆分为 $[0,1]$ 和 $[1,+\infty)$ 两段： $$\int_0^{+\infty} \frac{\cos t}{t^\alpha} \, dt = \int_0^1 \frac{\cos t}{t^\alpha} \, dt + \int_1^{+\infty} \frac{\cos t}{t^\alpha} \, dt.$$ 分别证明它们在 $\alpha$ 的任意闭区间上一致收敛。

在 $t \in (0,1]$ 上，$|\cos t| \le 1$，因此 $$\left| \frac{\cos t}{t^\alpha} \right| \le \frac{1}{t^\alpha}.$$ 对于任意闭区间 $[a,b] \subset (-1,1)$，对应的 $\alpha$ 范围是 $[\alpha_{\min}, \alpha_{\max}]$，其中 $\alpha_{\max} = \frac{b+1}{2} < 1$。于是当 $\alpha \le \alpha_{\max}$ 时，$\frac{1}{t^\alpha} \le \frac{1}{t^{\alpha_{\max}}}$，且 $\int_0^1 t^{-\alpha_{\max}} \, dt$ 收敛。由 Weierstrass 判别法，$\int_0^1 \frac{\cos t}{t^\alpha} \, dt$ 关于 $\alpha$ 在 $[\alpha_{\min}, \alpha_{\max}]$ 上一致收敛。

考虑 $\int_1^{+\infty} \frac{\cos t}{t^\alpha} \, dt$。令 $f(t) = \cos t$，$g(t) = t^{-\alpha}$。则 $\int_1^A \cos t \, dt = \sin A - \sin 1$，其绝对值不超过 $2$，即部分积分有界。对于 $\alpha \in [\alpha_{\min}, \alpha_{\max}] \subset (0,1)$，$g(t) = t^{-\alpha}$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减且趋于 $0$，且 $g(t) \le t^{-\alpha_{\min}}$，单调性一致。由 Dirichlet 判别法，$\int_1^{+\infty} \frac{\cos t}{t^\alpha} \, dt$ 关于 $\alpha$ 在 $[\alpha_{\min}, \alpha_{\max}]$ 上一致收敛。

由 $[0,1]$ 段和 $[1,+\infty)$ 段的一致收敛性，原积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\cos(x^2)}{x^y} \, dx$ 在任意闭区间 $[a,b] \subset (-1,1)$ 上一致收敛，即内闭一致收敛。