南京师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
二、（15 分）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫于 $a$ 。
（1）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+\cdots+n \cdot a_{n}}{n}=0$ ．
（2）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n a_{1}+(n-1) a_{2}+(n-2) a_{3}+\cdots+1 \cdot a_{n}}{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将待求极限表达式用部分和表示
设 $S_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_k$，则 $a_k = S_k - S_{k-1}$，其中 $S_0 = 0$。于是 $T_n = a_1 + 2a_2 + \cdots + n a_n = \sum_{k=1}^n k (S_k - S_{k-1})$。
公式：a_k = S_k - S_{k-1}
提示：注意 $S_0=0$，便于后续求和指标变换。
步骤 2/5
目标：化简 $T_n$ 的表达式
计算 $T_n = \sum_{k=1}^n k S_k - \sum_{k=1}^n k S_{k-1}$。对第二个和式令 $j=k-1$，得 $\sum_{j=0}^{n-1} (j+1) S_j$。由于 $S_0=0$，故 $T_n = \sum_{k=1}^n k S_k - \sum_{j=1}^{n-1} (j+1) S_j$。合并同类项：$T_n = n S_n + \sum_{k=1}^{n-1} [k S_k - (k+1) S_k] = n S_n - \sum_{k=1}^{n-1} S_k$。
公式：T_n = n S_n - \sum_{k=1}^{n-1} S_k
提示：合并时注意 $k$ 从1到 $n-1$，$n S_n$ 单独保留。
步骤 3/5
目标：得到 $T_n/n$ 的表达式并取极限
由上式得 $\frac{T_n}{n} = S_n - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} S_k$。已知 $S_n \to a$，由Cauchy命题（收敛数列的算术平均收敛到同一极限），有 $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} S_k \to a$。因此 $\frac{T_n}{n} \to a - a = 0$。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{T_n}{n} = 0
提示：Cauchy命题要求数列收敛，此处 $S_n$ 收敛于 $a$，故算术平均也收敛于 $a$。
步骤 4/5
目标：将第二问的表达式用 $S_n$ 和 $T_n$ 表示
设 $U_n = n a_1 + (n-1) a_2 + \cdots + 1 \cdot a_n = \sum_{k=1}^n (n+1-k) a_k = (n+1) \sum_{k=1}^n a_k - \sum_{k=1}^n k a_k = (n+1) S_n - T_n$。
公式：U_n = (n+1) S_n - T_n
提示：注意系数 $n+1-k$ 的分解，避免符号错误。
步骤 5/5
目标：求 $U_n/n$ 的极限
由上式得 $\frac{U_n}{n} = \frac{n+1}{n} S_n - \frac{T_n}{n}$。已知 $\frac{n+1}{n} \to 1$，$S_n \to a$，且由(1)知 $\frac{T_n}{n} \to 0$，故 $\frac{U_n}{n} \to 1 \cdot a - 0 = a$。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{U_n}{n} = a
提示：注意(1)的结论直接用于此处。
步骤 6/6
目标：计算U_n/n的极限
由 $U_n = S_1 + S_2 + \cdots + S_n$，得 $\frac{U_n}{n} = \frac{S_1 + S_2 + \cdots + S_n}{n}$。已知 $S_n \to a$，由Cauchy命题，算术平均也趋于 $a$，故 $\lim_{n\to\infty} \frac{U_n}{n} = a$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{U_n}{n} = a$
提示：注意第(2)问结果恰好是级数的和 $a$，而第(1)问结果为0，体现了系数分布的影响。
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