南京师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
九、（15 分）计算曲面积分
$$
I=\iint_{S}\left(x^{2} \cos \alpha+y^{2} \cos \beta+z^{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S
$$
其中 $S$ 为圆锥曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 上位于 $\displaystyle 0 \leq z \leq h$ 的一部分．其法向量恒与 $z$ 轴正向相交成锐角， $\displaystyle \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 为法向量的方向余弦．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意并转化为第二类曲面积分
题目中的积分 $I=\iint_{S}\left(x^{2} \cos \alpha+y^{2} \cos \beta+z^{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S$ 实际上是向量场 $\mathbf{F} = (x^2, y^2, z^2)$ 与单位法向量 $\mathbf{n}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 的点积在曲面上的第一类曲面积分，即 $I = \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS$。由于法向量与 $z$ 轴正向成锐角，故 $\cos\gamma > 0$。
公式：$I = \iint_S (x^2, y^2, z^2) \cdot \mathbf{n} \, dS$
提示：注意区分第一类与第二类曲面积分，此处点积形式可视为第二类曲面积分，但计算时仍用第一类积分方法。
步骤 2/6
目标：曲面参数化
曲面为锥面 $x^2+y^2=z^2$，$0\leq z\leq h$。采用柱坐标参数化：令 $x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，$z=r$，其中 $r\in[0,h]$，$\theta\in[0,2\pi]$。参数表示为 $\Phi(r,\theta)=(r\cos\theta,\; r\sin\theta,\; r)$。
公式：$\Phi(r,\theta) = (r\cos\theta,\; r\sin\theta,\; r)$
提示：注意 $z=r$ 是因为锥面上 $z=\sqrt{x^2+y^2}=r$，且 $z\geq0$。
步骤 3/6
目标：计算法向量与面积元
计算切向量：$\Phi_r = (\cos\theta,\; \sin\theta,\; 1)$，$\Phi_\theta = (-r\sin\theta,\; r\cos\theta,\; 0)$。法向量为 $\Phi_r \times \Phi_\theta = (-r\cos\theta,\; -r\sin\theta,\; r)$。其模 $|\Phi_r\times\Phi_\theta| = \sqrt{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta + r^2} = r\sqrt{2}$，故面积元 $dS = r\sqrt{2}\, dr\, d\theta$。单位法向量 $\mathbf{n} = \frac{(-\cos\theta,\; -\sin\theta,\; 1)}{\sqrt{2}}$，满足 $\cos\gamma = 1/\sqrt{2} > 0$。
公式：$\mathbf{n} = \frac{(-\cos\theta,\; -\sin\theta,\; 1)}{\sqrt{2}}$，$dS = r\sqrt{2}\, dr\, d\theta$
提示：法向量方向由叉积确定，注意检查 $z$ 分量正负以符合题意。
步骤 4/6
目标：计算被积函数并化简积分
在曲面上 $\mathbf{F} = (r^2\cos^2\theta,\; r^2\sin^2\theta,\; r^2)$。点乘得 $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{2}}[r^2\cos^2\theta\cdot(-\cos\theta) + r^2\sin^2\theta\cdot(-\sin\theta) + r^2\cdot 1] = \frac{r^2}{\sqrt{2}}(1 - \cos^3\theta - \sin^3\theta)$。代入积分得 $I = \int_0^{2\pi}\int_0^h \frac{r^2}{\sqrt{2}}(1 - \cos^3\theta - \sin^3\theta) \cdot (r\sqrt{2})\, dr\, d\theta = \int_0^{2\pi}\int_0^h r^3(1 - \cos^3\theta - \sin^3\theta)\, dr\, d\theta$。
公式：$\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = \frac{r^2}{\sqrt{2}}(1 - \cos^3\theta - \sin^3\theta)$，$I = \int_0^{2\pi}\int_0^h r^3(1 - \cos^3\theta - \sin^3\theta)\, dr\, d\theta$
提示：注意 $\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2}=1$ 的化简。
步骤 5/6
目标：计算径向积分
先对 $r$ 积分：$\int_0^h r^3\, dr = \frac{h^4}{4}$。于是 $I = \frac{h^4}{4} \int_0^{2\pi} (1 - \cos^3\theta - \sin^3\theta)\, d\theta$。
公式：$\int_0^h r^3\, dr = \frac{h^4}{4}$
提示：径向积分简单，注意幂次正确。
步骤 6/6
目标：计算角度积分并得出结果
计算 $\int_0^{2\pi} 1\, d\theta = 2\pi$。对于 $\int_0^{2\pi} \cos^3\theta\, d\theta$，由于 $\cos^3\theta$ 是周期函数且在一个周期内积分为零（可利用 $\cos^3\theta = \cos\theta(1-\sin^2\theta)$ 或对称性），同理 $\int_0^{2\pi} \sin^3\theta\, d\theta = 0$。因此角度积分为 $2\pi$。最终 $I = \frac{h^4}{4} \cdot 2\pi = \frac{\pi h^4}{2}$。
公式：$\int_0^{2\pi} \cos^3\theta\, d\theta = 0$，$\int_0^{2\pi} \sin^3\theta\, d\theta = 0$，$I = \frac{\pi h^4}{2}$
提示：利用三角函数的周期性和奇偶性可快速判断积分值为零，避免复杂计算。
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