南京师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
六、（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调递减，且
$$
f(x)>0, x \in[a,+\infty) .
$$
证明：反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 玫散性相同．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：建立基本不等式关系
由于 $0 \le \sin^2 x \le 1$ 且 $f(x) > 0$，对任意 $x \in [a, +\infty)$ 有 $0 \le f(x) \sin^2 x \le f(x)$。因此，若 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 收敛，由比较判别法知 $\int_a^{+\infty} f(x) \sin^2 x \, dx$ 也收敛。
公式：0 \le f(x) \sin^2 x \le f(x)
提示：注意比较判别法要求被积函数非负，这里满足条件。
步骤 2/5
目标：利用单调性划分区间并估计
取整数 $n_0$ 使得 $n_0\pi \ge a$，将区间 $[a, +\infty)$ 划分为 $[k\pi, (k+1)\pi)$，$k = n_0, n_0+1, \dots$。由于 $f(x)$ 单调递减，在 $[k\pi, (k+1)\pi]$ 上有 $f((k+1)\pi) \le f(x) \le f(k\pi)$。同时 $\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \sin^2 x \, dx = \frac{\pi}{2}$。
公式：f((k+1)\pi) \le f(x) \le f(k\pi), \quad \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \sin^2 x \, dx = \frac{\pi}{2}
提示：注意 $\sin^2 x$ 的周期为 $\pi$，积分值固定。
步骤 3/5
目标：建立含 $\sin^2$ 积分的下界估计
在区间 $[k\pi, (k+1)\pi]$ 上，利用 $f(x) \ge f((k+1)\pi)$ 得：
$$
\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(x) \sin^2 x \, dx \ge f((k+1)\pi) \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \sin^2 x \, dx = \frac{\pi}{2} f((k+1)\pi).
$$
公式：\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(x) \sin^2 x \, dx \ge \frac{\pi}{2} f((k+1)\pi)
提示：下界估计利用了 $f$ 的单调递减性，注意下标是 $(k+1)\pi$。
步骤 4/5
目标：建立 $f$ 积分的上界估计并与含 $\sin^2$ 积分关联
在区间 $[k\pi, (k+1)\pi]$ 上，$f(x) \le f(k\pi)$，故
$$
\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(x) \, dx \le f(k\pi) \cdot \pi.
$$
由前一步，令 $k$ 替换为 $k-1$ 得 $f(k\pi) \le \frac{2}{\pi} \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} f(x) \sin^2 x \, dx$，代入得：
$$
\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(x) \, dx \le \pi \cdot \frac{2}{\pi} \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} f(x) \sin^2 x \, dx = 2 \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} f(x) \sin^2 x \, dx.
$$
公式：\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(x) \, dx \le 2 \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} f(x) \sin^2 x \, dx
提示：注意下标平移：$f(k\pi)$ 对应前一个区间 $[(k-1)\pi, k\pi]$ 的含 $\sin^2$ 积分。
步骤 5/5
目标：对整个无穷积分求和并得出收敛性结论
对 $k = n_0, n_0+1, \dots$ 求和，忽略有限项不影响敛散性：
$$
\int_{n_0\pi}^{+\infty} f(x) \, dx \le 2 \int_{(n_0-1)\pi}^{+\infty} f(x) \sin^2 x \, dx.
$$
因此，若 $\int_a^{+\infty} f(x) \sin^2 x \, dx$ 收敛，则右边积分有限，左边积分也收敛。结合第一步，两者敛散性相同。
公式：\int_{n_0\pi}^{+\infty} f(x) \, dx \le 2 \int_{(n_0-1)\pi}^{+\infty} f(x) \sin^2 x \, dx
提示：求和时注意起始下标，有限项不影响敛散性判断。
步骤 6/7
目标：证明反向敛散性关系
若 $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ 发散，则 $\sum f(k\pi)$ 发散，从而 $\sum f((k+1)\pi)$ 也发散。由第4步的不等式，
\[
\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(x) \sin^2 x \, dx \ge \frac{\pi}{4} f((k+1)\pi),
\]
知 $\sum \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(x) \sin^2 x \, dx$ 发散，故 $\int_a^{+\infty} f(x) \sin^2 x \, dx$ 发散。
公式：\sum f((k+1)\pi) \text{ 发散} \Rightarrow \sum \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} f(x) \sin^2 x \, dx \text{ 发散}
提示：反向证明依赖于下界估计，注意级数发散的比较判别法。
步骤 7/7
目标：总结结论
综合第2步和第6步，两个反常积分同时收敛或同时发散，即敛散性相同。
提示：证明的关键在于利用单调性和 $\sin^2 x$ 的周期性构造出反向不等式。
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