南京师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
七、（20 分）解答如下问题：
（1）已知二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续，且
$$
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-x y^{2}}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1 .
$$
试着问：点 $\displaystyle (0,0)$ 是否为二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 的驻点？进一步讨论点 $\displaystyle (0,0)$ 是否为二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 的极值点？若是，是极大值点还是极小值点？若不是，请说明理由．
（2）设 $\displaystyle u(x, y, z)$ ，且令 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=r \sin \varphi \cos \theta \\ y=r \sin \varphi \sin \theta \\ z=r \cos \varphi\end{array}\right.$ ，若
$$
x u_{x}+y u_{y}+z u_{z}=0
$$
证明：$u$ 仅为 $\displaystyle \theta$ 与 $\displaystyle \varphi$ 的函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析极限条件，确定函数在原点附近的行为
已知极限：
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)-xy^2}{1-\cos\sqrt{x^2+y^2}} = 1.
$$
令 $r = \sqrt{x^2+y^2}$，当 $r\to 0$ 时，有等价无穷小 $1-\cos r \sim \frac{r^2}{2}$，因此极限可改写为：
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)-xy^2}{r^2/2} = 1 \quad\Rightarrow\quad \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)-xy^2}{r^2} = \frac12.
$$
公式：$$1-\cos r \sim \frac{r^2}{2}$$
提示：注意分母趋于0时，分子也必须趋于0，否则极限不可能为有限数。
步骤 2/6
目标：由极限推出f(0,0)的值
因为分母趋于0，分子也必须趋于0，即
$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)} [f(x,y)-xy^2] = 0.
$$
由 $f$ 在 $(0,0)$ 连续，得 $f(0,0) = \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = \lim_{(x,y)\to(0,0)} xy^2 = 0$。
公式：$$f(0,0)=0$$
提示：连续性保证了极限值与函数值相等。
步骤 3/6
目标：判断(0,0)是否为驻点
驻点要求 $f_x(0,0)=0$ 且 $f_y(0,0)=0$。
沿 $y=0$ 路径：由极限得
$$
\lim_{x\to0} \frac{f(x,0)-0}{x^2/2}=1 \quad\Rightarrow\quad f(x,0)\sim \frac{x^2}{2},
$$
故 $f_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-0}{x}=0$。
沿 $x=0$ 路径：
$$
\lim_{y\to0} \frac{f(0,y)-0}{y^2/2}=1 \quad\Rightarrow\quad f(0,y)\sim \frac{y^2}{2},
$$
故 $f_y(0,0)=\lim_{y\to0}\frac{f(0,y)-0}{y}=0$。
因此 $(0,0)$ 是驻点。
公式：$$f_x(0,0)=0,\quad f_y(0,0)=0$$
提示：利用极限条件沿坐标轴方向计算偏导数，注意分子是f(x,0)或f(0,y)。
步骤 4/6
目标：展开f(x,y)并分析极值性质
由极限条件，当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，有
$$
f(x,y) = xy^2 + \frac12(x^2+y^2) + o(x^2+y^2).
$$
主部为 $Q(x,y)=xy^2+\frac12(x^2+y^2)$。二次项 $\frac12(x^2+y^2)$ 是正定的，而 $xy^2$ 是三次项，在原点附近被二次项控制。
严格证明：存在邻域使 $|xy^2| \le \frac14(x^2+y^2)$，从而
$$
f(x,y) \ge \frac12(x^2+y^2) - \frac14(x^2+y^2) = \frac14(x^2+y^2) > 0 \quad (\text{除原点外}).
$$
因此 $(0,0)$ 是极小值点。
公式：$$f(x,y) = xy^2 + \frac12(x^2+y^2) + o(x^2+y^2)$$
提示：注意三次项 $xy^2$ 在原点附近可以被二次项控制，从而判断极值。
步骤 5/6
目标：将第二问的条件用球坐标表示
已知球坐标变换：
$$
x = r\sin\varphi\cos\theta,\quad y = r\sin\varphi\sin\theta,\quad z = r\cos\varphi.
$$
条件 $x u_x + y u_y + z u_z = 0$ 可视为径向方向导数。由链式法则：
$$
\frac{\partial u}{\partial r} = u_x \frac{\partial x}{\partial r} + u_y \frac{\partial y}{\partial r} + u_z \frac{\partial z}{\partial r} = u_x \sin\varphi\cos\theta + u_y \sin\varphi\sin\theta + u_z \cos\varphi.
$$
而 $x u_x + y u_y + z u_z = r(u_x \sin\varphi\cos\theta + u_y \sin\varphi\sin\theta + u_z \cos\varphi) = r \frac{\partial u}{\partial r}$。
公式：$$x u_x + y u_y + z u_z = r \frac{\partial u}{\partial r}$$
提示：注意 $\frac{\partial x}{\partial r} = \sin\varphi\cos\theta$ 等，不要混淆。
步骤 6/6
目标：由条件推出u与r无关
由已知条件 $x u_x + y u_y + z u_z = 0$，代入得 $r \frac{\partial u}{\partial r} = 0$。对于 $r>0$，有 $\frac{\partial u}{\partial r}=0$，因此 $u$ 不依赖于 $r$，仅为 $\theta$ 和 $\varphi$ 的函数。
公式：$$\frac{\partial u}{\partial r}=0$$
提示：注意 $r=0$ 是奇点，但结论在 $r>0$ 的邻域内成立。
步骤 7/7
目标：由条件推导 $u$ 与 $r$ 无关
代入条件 $x u_x + y u_y + z u_z = 0$ 得 $r u_r = 0$。对于 $r>0$，有 $u_r = 0$，即 $u$ 不依赖于 $r$，因此 $u$ 仅为 $\varphi$ 和 $\theta$ 的函数。
公式：r u_r = 0 \Rightarrow u_r = 0 \ (r>0)
提示：注意 $r=0$ 是奇点，但结论对 $r>0$ 成立，由连续性可延拓。
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