南京师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{(n+1)\left(1+\frac{1}{n}\right)}+\frac{1}{\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)}+\cdots+\frac{1}{\left(n+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{n}{n}\right)}\right]$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察求和形式，识别通项
题目中的求和为：
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\left(n + \frac{1}{k}\right)\left(1 + \frac{k}{n}\right)}
\]
其中求和指标 \(k\) 从 1 到 \(n\)，每一项分母有两个因子：\(n + \frac{1}{k}\) 和 \(1 + \frac{k}{n}\)。
公式：\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\left(n + \frac{1}{k}\right)\left(1 + \frac{k}{n}\right)}
提示：注意求和形式可能对应黎曼和，尝试提取公因子 \(n\) 以转化为标准形式。
步骤 2/5
目标：提取公因子 n，化简通项
将第一个因子中的 \(n\) 提取出来：
\[
n + \frac{1}{k} = n\left(1 + \frac{1}{nk}\right)
\]
于是通项变为：
\[
\frac{1}{n\left(1 + \frac{1}{nk}\right)\left(1 + \frac{k}{n}\right)}
\]
整个和式为：
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{nk}\right)\left(1 + \frac{k}{n}\right)}
\]
公式：\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{nk}\right)\left(1 + \frac{k}{n}\right)}
提示：提取 \(n\) 后，分母中出现了 \(1 + \frac{1}{nk}\) 和 \(1 + \frac{k}{n}\)，前者在 \(n \to \infty\) 时趋于 1。
步骤 3/5
目标：分析极限下因子的行为
当 \(n \to \infty\) 时，对于任意 \(k \in [1, n]\)，有 \(\frac{1}{nk} \to 0\)，因此 \(1 + \frac{1}{nk} \to 1\)。特别地，当 \(k = n\) 时，\(\frac{1}{nk} = \frac{1}{n^2} \to 0\)，所以一致趋于 1。极限情况下，第一个因子可忽略，得到：
\[
\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}
\]
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}
提示：忽略因子 \(\frac{1}{1 + \frac{1}{nk}}\) 时需注意其介于 \(\frac{1}{1 + \frac{1}{n}}\) 和 1 之间，由夹逼定理可知极限不变。
步骤 4/5
目标：转化为黎曼和并求积分
上述和式是典型的黎曼和形式，对应函数 \(f(x) = \frac{1}{1+x}\) 在区间 \([0,1]\) 上的积分，其中 \(x_k = \frac{k}{n}\)，\(\Delta x = \frac{1}{n}\)：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx
\]
计算积分：
\[
\int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx = \left[ \ln(1+x) \right]_0^1 = \ln 2
\]
公式：\int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx = \ln 2
提示：黎曼和的标准形式为 \(\frac{1}{n} \sum f(\frac{k}{n})\)，注意这里 \(f(x) = \frac{1}{1+x}\) 在 \([0,1]\) 上连续，极限存在。
步骤 5/5
目标：得出最终极限值
综合以上步骤，原极限等于 \(\ln 2\)。
公式：\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{(n+1)(1+\frac{1}{n})} + \cdots + \frac{1}{(n+\frac{1}{n})(1+\frac{n}{n})} \right] = \ln 2
提示：最终答案需确认忽略的因子不影响极限，可用夹逼定理严格证明。
步骤 6/6
目标：得出最终极限值
因此原极限等于 $\ln 2$。
公式：\lim_{n\to\infty}\left[\frac{1}{(n+1)(1+\frac{1}{n})}+\cdots\right] = \ln 2
提示：答案需化简为最简形式。
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