📝 南京师范大学 2026年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{(n+1)\left(1+\frac{1}{n}\right)}+\frac{1}{\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)}+\cdots+\frac{1}{\left(n+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{n}{n}\right)}\right]$ ．

2．求积分 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{4 \cos ^{2} x+3 \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．

3．求重积分 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}y, & y \leq e^{x}, \\ x, & y>e^{x} .\end{array} \quad D:[0,1] \times[0, e]\right.$ ．

4．求由 $y^{2}=2 x, y^{2}=4 x, y=x, y=2 x, z=0, z=x y$ 围成区域的体积．

5．设 $f(x, y)=x^{y} \ln (x y)$ ，求 $f(x, y)$ 在 $(1,1)$ 处的二阶泰勒公式．

七．（15 分）已知点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 满足方程 $\displaystyle e^{-x y}+2 z-e^{z}=0$ ，添加一个充分条件，使得 $\displaystyle P_{0}$ 附近确定一个隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，并问这个隐函数有没有极大（小）值？

三．（ 15 分）设

$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{\sin (x y)}{y}, & y \neq 0 \\ 0, & y=0\end{cases}
$$

判断 $f$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处是否连续，可微？方向导数是否存在？

九．（15 分）设 $\displaystyle I(y)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin ^{3} x}{x^{y}} \mathrm{~d} x$ ．
（1）求 $\displaystyle I(y)$ 的收敛域．
（2）判断 $\displaystyle I(y)$ 在收敛域上是否一致收敛．
（3）求 $\displaystyle I(3)$ 。

二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上恒正连续，$\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{2} x^{n} f(x) \mathrm{d} x$ ，求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫域．

五．（15 分）求曲面积分

$$
\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}
$$

其中 $\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle 1-\frac{z}{9}=\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{9}$ 在 $\displaystyle x O y$ 平面上方的部分，取上侧．

八．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0, f(-1)=-1, f(1)=1$ ．
（1）证明：存在 $\displaystyle \xi \in(-1,1)$ ，使得 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right|<2$ ．
（2）证明：存在 $\displaystyle \eta \in(-1,1)$ ，使得 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(\eta)\right|>2$ ．

六．（15 分）证明：$\displaystyle f(x)$ 在有界区间 $I$ 上一致连续的充要条件是对任意 $I$ 中的柯西列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ ，有 $\displaystyle \left\{f\left(a_{n}\right)\right\}$ 也是柯西列．

四．（15 分）求曲线积分 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L:(x-1)^{2}+y^{2}=4$ ，取逆时针方向．