南京师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5．设 $f(x, y)=x^{y} \ln (x y)$ ，求 $f(x, y)$ 在 $(1,1)$ 处的二阶泰勒公式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算函数在点 (1,1) 处的函数值
将 $x=1, y=1$ 代入 $f(x, y)=x^{y} \ln (x y)$，得 $f(1,1)=1^{1} \cdot \ln(1 \cdot 1)=1 \cdot \ln 1=0$。
公式：$f(1,1)=0$
提示：注意 $\ln 1=0$，任何非零数的0次幂为1。
步骤 2/4
目标：计算一阶偏导数 $f_x$ 和 $f_y$ 在 (1,1) 处的值
先求 $f_x$：$f_x = y x^{y-1} \ln(xy) + x^{y-1}$，代入 $(1,1)$ 得 $f_x(1,1)=1$。
再求 $f_y$：$f_y = x^y \ln x \cdot \ln(xy) + \frac{x^y}{y}$，代入 $(1,1)$ 得 $f_y(1,1)=1$。
公式：$f_x(1,1)=1$, $f_y(1,1)=1$
提示：对 $x^y$ 求导时，可视为指数函数 $e^{y\ln x}$，利用链式法则。
步骤 3/4
目标：计算二阶偏导数 $f_{xx}$, $f_{yy}$, $f_{xy}$ 在 (1,1) 处的值
由 $f_x = y x^{y-1} \ln(xy) + x^{y-1}$ 对 $x$ 再求导得 $f_{xx}=y(y-1)x^{y-2}\ln(xy)+y x^{y-2}+(y-1)x^{y-2}$，代入得 $f_{xx}(1,1)=1$。
由 $f_y = x^y \ln x \cdot \ln(xy) + \frac{x^y}{y}$ 对 $y$ 求导得 $f_{yy}=x^y (\ln x)^2 \ln(xy) + \frac{x^y \ln x}{y} + \frac{x^y (y\ln x - 1)}{y^2}$，代入得 $f_{yy}(1,1)=-1$。
由 $f_x$ 对 $y$ 求导得 $f_{xy}=x^{y-1}\ln(xy)+y x^{y-1}\ln x \ln(xy)+x^{y-1}+x^{y-1}\ln x$，代入得 $f_{xy}(1,1)=1$。
公式：$f_{xx}(1,1)=1$, $f_{yy}(1,1)=-1$, $f_{xy}(1,1)=1$
提示：混合偏导 $f_{xy}$ 也可由 $f_y$ 对 $x$ 求导得到，结果应一致，可用来验证。
步骤 4/4
目标：写出二阶泰勒公式并化简
泰勒公式到二阶为：
$f(x,y) = f(1,1) + f_x(1,1)(x-1) + f_y(1,1)(y-1) + \frac12\big[ f_{xx}(1,1)(x-1)^2 + 2 f_{xy}(1,1)(x-1)(y-1) + f_{yy}(1,1)(y-1)^2 \big] + R_2$
代入各值：
$f(x,y) = 0 + 1\cdot(x-1) + 1\cdot(y-1) + \frac12\big[1\cdot(x-1)^2 + 2\cdot1\cdot(x-1)(y-1) + (-1)\cdot(y-1)^2\big] + R_2$
化简得：
$f(x,y) = (x-1)+(y-1) + \frac12 (x-1)^2 + (x-1)(y-1) - \frac12 (y-1)^2 + R_2$
公式：$f(x,y) = (x-1)+(y-1) + \frac12 (x-1)^2 + (x-1)(y-1) - \frac12 (y-1)^2 + R_2$
提示：余项 $R_2 = o\big((x-1)^2+(y-1)^2\big)$，表示高阶无穷小。
步骤 5/5
目标：代入泰勒公式并化简，写出最终结果
将已求得的各值代入二阶泰勒公式：
$$f(x,y) = 0 + 1\cdot(x-1) + 1\cdot(y-1) + \frac12 \big[ 1\cdot(x-1)^2 + 2\cdot1\cdot (x-1)(y-1) + (-1)\cdot(y-1)^2 \big] + R_2$$
化简得：
$$f(x,y) = (x-1)+(y-1) + \frac12 (x-1)^2 + (x-1)(y-1) - \frac12 (y-1)^2 + R_2$$
公式：$$f(x,y) = (x-1)+(y-1) + \frac12 (x-1)^2 + (x-1)(y-1) - \frac12 (y-1)^2 + R_2$$
提示：注意 $\frac12 \times 2f_{xy}(x-1)(y-1) = f_{xy}(x-1)(y-1)$，不要遗漏系数。
步骤 6/6
目标：代入泰勒公式，写出二阶泰勒多项式
将已求得的各值代入二阶泰勒公式：
$f(1,1)=0$，$f_x(1,1)=1$，$f_y(1,1)=1$，$f_{xx}(1,1)=1$，$f_{xy}(1,1)=1$，$f_{yy}(1,1)=-1$。
得到：
$$f(x,y)=0+1\cdot(x-1)+1\cdot(y-1)+\frac12\big[1\cdot(x-1)^2+2\cdot1\cdot(x-1)(y-1)+(-1)\cdot(y-1)^2\big]$$
化简为：
$$f(x,y)=(x-1)+(y-1)+\frac12(x-1)^2+(x-1)(y-1)-\frac12(y-1)^2$$
公式：$$f(x,y)=(x-1)+(y-1)+\frac12(x-1)^2+(x-1)(y-1)-\frac12(y-1)^2$$
提示：注意二阶项系数中混合偏导$f_{xy}$已乘以2，代入公式时直接使用$f_{xy}$的值即可，无需再乘2。
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