南京师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
三．（ 15 分）设
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{\sin (x y)}{y}, & y \neq 0 \\ 0, & y=0\end{cases}
$$
判断 $f$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处是否连续，可微？方向导数是否存在？
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断连续性
要判断函数在原点是否连续，即验证当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，$f(x,y)\to f(0,0)=0$。当 $y\neq 0$ 时，有 $|f(x,y)| = \left|\frac{\sin(xy)}{y}\right| \le \frac{|xy|}{|y|} = |x|$。因此当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，$|f(x,y)|\le |x|\to 0$，故极限为 $0$，等于函数值，所以连续。
公式：|\sin t| \le |t|, \quad |f(x,y)| \le |x|
提示：注意利用 $|\sin t|\le |t|$ 进行放缩，且 $y\neq 0$ 时路径不影响极限。
步骤 2/4
目标：判断方向导数是否存在
对任意方向向量 $\mathbf{v}=(a,b)\neq (0,0)$，方向导数为 $D_{\mathbf{v}} f(0,0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(ta,tb)-f(0,0)}{t}$。若 $b=0$，则 $f(ta,0)=0$，极限为 $0$。若 $b\neq 0$，则 $f(ta,tb)=\frac{\sin(ab t^2)}{tb}$，差商为 $\frac{\sin(ab t^2)}{t^2 b}$，利用 $\sin u\sim u$ 得极限为 $a$。故所有方向导数存在，且 $D_{(a,b)}f(0,0)=a$。
公式：D_{\mathbf{v}} f(0,0) = \lim_{t\to 0} \frac{\sin(ab t^2)}{t^2 b} = a
提示：注意 $b=0$ 和 $b\neq 0$ 需分开讨论，且 $\sin u \sim u$ 在 $u\to 0$ 时成立。
步骤 3/4
目标：求偏导数
由定义求偏导：$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-0}{h}=0$；$f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-0}{h}=0$，因为 $f(0,h)=0$。故两个偏导数均为 $0$。
公式：f_x(0,0)=0,\quad f_y(0,0)=0
提示：偏导定义中需注意 $f(0,h)$ 在 $h\neq 0$ 时由第一段给出，但分子为 $0$。
步骤 4/4
目标：判断可微性
若可微，则需 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$。取路径 $y=x$，当 $x>0$ 时，$f(x,x)=\frac{\sin(x^2)}{x}$，则 $\frac{f(x,x)}{\sqrt{2x^2}}=\frac{\sin(x^2)}{\sqrt{2}x^2}\to \frac{1}{\sqrt{2}}\neq 0$，故极限不为 $0$，因此不可微。
公式：\lim_{x\to 0^+} \frac{\sin(x^2)}{\sqrt{2}x^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \neq 0
提示：选择特殊路径 $y=x$ 可快速得到非零极限，注意 $\sin(x^2)\sim x^2$。
步骤 5/5
目标：总结结论
综合以上分析：函数在原点连续（第一步），方向导数存在（第二步），但不可微（第四步）。
提示：注意方向导数存在且偏导数存在并不能推出可微，本题是一个经典反例。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。