南京师范大学 2026年数学分析第0题

给定方程 $F(x,y,z)=e^{-xy}+2z-e^z=0$，要确定隐函数 $z=z(x,y)$，需满足隐函数定理条件：$F$ 连续可微，$F(P_0)=0$，且 $F_z(P_0)\neq0$。计算 $F_z=2-e^z$，故条件为 $2-e^{z_0}\neq0$，即 $z_0\neq\ln2$。因此一个充分条件是：$P_0$ 满足原方程且 $z_0\neq\ln2$。

对原方程两边分别对 $x$ 和 $y$ 求偏导（视 $z$ 为 $x,y$ 的函数）： 对 $x$：$-ye^{-xy}+2z_x-e^z z_x=0$，整理得 $(2-e^z)z_x=ye^{-xy}$。 对 $y$：$-xe^{-xy}+2z_y-e^z z_y=0$，整理得 $(2-e^z)z_y=xe^{-xy}$。 由于 $2-e^z\neq0$，故 $z_x=\frac{ye^{-xy}}{2-e^z}$，$z_y=\frac{xe^{-xy}}{2-e^z}$。令 $z_x=0,z_y=0$，得 $x=0,y=0$。代入原方程得 $1+2z-e^z=0$，解得 $z=0$（另一解 $z\approx1.256$ 但 $z=\ln2$ 附近不满足存在条件）。

在点 $(0,0,0)$ 处，$z_x=0,z_y=0,e^z=1$。 由 $(2-e^z)z_x=ye^{-xy}$ 两边对 $x$ 求导：左边为 $-e^z z_x^2+(2-e^z)z_{xx}$，右边为 $-y^2e^{-xy}$，代入得 $z_{xx}=0$。 同理，由 $(2-e^z)z_y=xe^{-xy}$ 对 $y$ 求导得 $z_{yy}=0$。 对 $(2-e^z)z_x=ye^{-xy}$ 两边对 $y$ 求导：左边为 $-e^z z_y z_x+(2-e^z)z_{xy}$，右边为 $e^{-xy}-xye^{-xy}$，代入得 $z_{xy}=1$。 故 Hessian 矩阵 $H=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$，行列式 $\det H=-1<0$，为鞍点。

在满足隐函数存在条件的点附近，隐函数 $z=z(x,y)$ 的唯一驻点 $(0,0)$ 对应的 $z=0$ 是鞍点，因此该隐函数没有极大值或极小值。

由于 Hessian 矩阵的行列式小于0，点 $(0,0)$ 是鞍点，不是极值点。对于另一个解 $z_0>\ln2$，虽然分母 $2-e^{z_0}<0$，但 $x_0=y_0=0$ 仍成立，且 $z_x=z_y=0$，同样的二阶偏导计算过程（注意 $e^{z_0} \neq 2$）仍得到 $z_{xx}=0$, $z_{yy}=0$, $z_{xy}=1$，Hessian 矩阵相同，行列式为负，故也是鞍点。因此隐函数没有极大值或极小值。

添加的充分条件为 $z_0 \neq \ln 2$，此时在 $P_0$ 附近可确定隐函数 $z=z(x,y)$。该隐函数在可能的驻点 $(0,0)$ 处为鞍点，故没有极大值或极小值。