南京师范大学 2026年数学分析第0题

被积表达式为 $\frac{x\,dy - y\,dx}{4x^2+y^2}$，对应的 $P = \frac{-y}{4x^2+y^2}$，$Q = \frac{x}{4x^2+y^2}$。分母为零的点为 $(0,0)$。曲线 $L: (x-1)^2+y^2=4$ 是圆心在 $(1,0)$、半径为 $2$ 的圆。原点到圆心的距离为 $1$，小于半径 $2$，故原点在 $L$ 内部，是奇点。

计算偏导数： $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{4x^2+y^2}\right) = \frac{y^2-4x^2}{(4x^2+y^2)^2}$， $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{-y}{4x^2+y^2}\right) = \frac{-4x^2+y^2}{(4x^2+y^2)^2}$。 于是 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$。因此在不含原点的区域内，旋度为零，但原点在 $L$ 内部，不能直接应用格林公式，需挖去奇点。

取一个小椭圆 $4x^2+y^2 = \varepsilon^2$（$\varepsilon$ 充分小），方向取顺时针，记为 $L_\varepsilon^-$。在 $L$ 与 $L_\varepsilon^-$ 所围成的区域上应用格林公式，由于旋度为零，有 $\oint_L - \oint_{L_\varepsilon^-} = 0$，即 $\oint_L = \oint_{L_\varepsilon^-}$。若记小椭圆逆时针方向为 $L_\varepsilon^+$，则 $\oint_{L_\varepsilon^-} = -\oint_{L_\varepsilon^+}$，故 $\oint_L = -\oint_{L_\varepsilon^+}$。

在 $L_\varepsilon^+$ 上，参数化：$x = \frac{\varepsilon}{2}\cos\theta$，$y = \varepsilon\sin\theta$，$\theta: 0 \to 2\pi$。则 $4x^2+y^2 = \varepsilon^2$，$dx = -\frac{\varepsilon}{2}\sin\theta\,d\theta$，$dy = \varepsilon\cos\theta\,d\theta$。被积表达式分子：$x\,dy - y\,dx = \frac{\varepsilon}{2}\cos\theta \cdot \varepsilon\cos\theta\,d\theta - \varepsilon\sin\theta \cdot \left(-\frac{\varepsilon}{2}\sin\theta\,d\theta\right) = \frac{\varepsilon^2}{2}(\cos^2\theta+\sin^2\theta)\,d\theta = \frac{\varepsilon^2}{2}\,d\theta$。于是积分 $\oint_{L_\varepsilon^+} \frac{x\,dy - y\,dx}{4x^2+y^2} = \int_0^{2\pi} \frac{\varepsilon^2/2}{\varepsilon^2}\,d\theta = \int_0^{2\pi} \frac12\,d\theta = \pi$。

由 $\oint_L = -\oint_{L_\varepsilon^+} = -\pi$，故原曲线积分的值为 $-\pi$。

由格林公式，外圈逆时针积分等于内圈顺时针积分的相反数，而内圈顺时针积分等于逆时针积分的相反数，即 \[ \oint_L = \oint_{C_\varepsilon(\text{顺时针})} = -\oint_{C_\varepsilon(\text{逆时针})} = -\pi \] 但更准确地说，由区域边界方向关系： \[ \oint_L + \oint_{C_\varepsilon(\text{顺时针})} = 0 \quad\Rightarrow\quad \oint_L = -\oint_{C_\varepsilon(\text{顺时针})} = \oint_{C_\varepsilon(\text{逆时针})} = \pi \] 因此原积分为 \(\pi\)。