南京师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
九．（15 分）设 $\displaystyle I(y)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin ^{3} x}{x^{y}} \mathrm{~d} x$ ．
（1）求 $\displaystyle I(y)$ 的收敛域．
（2）判断 $\displaystyle I(y)$ 在收敛域上是否一致收敛．
（3）求 $\displaystyle I(3)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析x→0⁺时积分的收敛性
当$x\to 0^+$时，$\sin^3 x \sim x^3$，因此被积函数$\frac{\sin^3 x}{x^y} \sim \frac{x^3}{x^y} = x^{3-y}$。积分$\int_0^{\delta} x^{3-y} dx$在0点附近收敛的条件是$3-y > -1$，即$y < 4$。
公式：\sin^3 x \sim x^3 \quad (x\to 0), \quad \int_0^{\delta} x^{3-y} dx \text{ 收敛 } \iff 3-y > -1 \iff y < 4
提示：注意比较判别法在0点处的应用，指数大于-1才收敛。
步骤 2/8
目标：分析x→+∞时积分的收敛性
当$x\to +\infty$时，$|\sin^3 x| \le 1$，若$y>1$，则$\left|\frac{\sin^3 x}{x^y}\right| \le \frac{1}{x^y}$，积分绝对收敛。若$00$时，$\frac{1}{x^y}$单调趋于0，$\sin x$的积分有界，故条件收敛。若$y\le 0$，被积函数不趋于0，发散。因此无穷远处要求$y>0$。
公式：\sin^3 x = \frac{3\sin x - \sin 3x}{4}, \quad \text{Dirichlet判别法: } y>0 \text{ 时无穷积分收敛}
提示：注意区分绝对收敛和条件收敛，y∈(0,1]时是条件收敛。
步骤 3/8
目标：综合得到收敛域
由0点处要求$y<4$，无穷远处要求$y>0$，取交集得收敛域为$0 < y < 4$。
公式：\text{收敛域: } 0 < y < 4
提示：端点y=0和y=4不在收敛域内，需单独验证发散性。
步骤 4/8
目标：判断一致收敛性
在收敛域$(0,4)$内任意闭区间$[a,b]$（其中$a>0, b<4$）上，可找到控制函数（如$x^{-a}$在无穷远处，$x^{3-b}$在0点附近），由Weierstrass M-判别法知一致收敛。但在整个开区间$(0,4)$上，当$y\to 0^+$时，无穷远处衰减变慢；当$y\to 4^-$时，0点附近指数趋近于-1，收敛速度不一致，无法找到统一的控制函数，故在$(0,4)$上不一致收敛。
公式：\text{闭区间上一致收敛，开区间上非一致收敛}
提示：一致收敛性需考虑端点附近的行为，通常开区间端点处会破坏一致收敛。
步骤 5/8
目标：计算I(3)的积分表达式
当$y=3$时，$I(3)=\int_0^{+\infty} \frac{\sin^3 x}{x^3} dx$。使用三角恒等式$\sin^3 x = \frac{3\sin x - \sin 3x}{4}$，但直接拆分会导致0点处发散（因为$\int_0 \frac{\sin x}{x^3} dx$发散），故采用分部积分法降幂。
公式：I(3) = \int_0^{+\infty} \frac{\sin^3 x}{x^3} dx
提示：注意不能直接拆分积分，需先处理奇点。
步骤 6/8
目标：第一次分部积分
令$u = \sin^3 x$，$dv = x^{-3} dx$，则$du = 3\sin^2 x \cos x dx$，$v = -\frac{1}{2x^2}$。代入分部积分公式：
$$I(3) = \left[-\frac{\sin^3 x}{2x^2}\right]_0^{+\infty} + \frac12 \int_0^{+\infty} \frac{3\sin^2 x \cos x}{x^2} dx$$
边界项：当$x\to 0$时，$\sin^3 x \sim x^3$，$\frac{\sin^3 x}{2x^2} \sim \frac{x}{2} \to 0$；当$x\to +\infty$时，分子有界，分母趋于无穷，故为0。因此
$$I(3) = \frac32 \int_0^{+\infty} \frac{\sin^2 x \cos x}{x^2} dx$$
公式：\int u dv = uv - \int v du, \quad I(3) = \frac32 \int_0^{+\infty} \frac{\sin^2 x \cos x}{x^2} dx
提示：检查边界项是否为零，确保分部积分有效。
步骤 7/8
目标：第二次分部积分
令$u = \sin^2 x \cos x$，$dv = x^{-2} dx$，则$du = (2\sin x \cos^2 x - \sin^3 x) dx = \sin x (2\cos^2 x - \sin^2 x) dx$，$v = -\frac{1}{x}$。代入分部积分：
$$\int_0^{+\infty} \frac{\sin^2 x \cos x}{x^2} dx = \left[-\frac{\sin^2 x \cos x}{x}\right]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} \frac{\sin x (2\cos^2 x - \sin^2 x)}{x} dx$$
边界项同样为0，因此
$$I(3) = \frac32 \int_0^{+\infty} \frac{\sin x (2\cos^2 x - \sin^2 x)}{x} dx$$
公式：\int_0^{+\infty} \frac{\sin^2 x \cos x}{x^2} dx = \int_0^{+\infty} \frac{\sin x (2\cos^2 x - \sin^2 x)}{x} dx
提示：注意du的求导要准确，利用三角恒等式化简。
步骤 8/8
目标：化简并利用已知积分公式求值
利用恒等式$2\cos^2 x - \sin^2 x = 3\cos^2 x - 1$，以及$\sin x \cos^2 x = \frac14 \sin x + \frac14 \sin 3x$，代入得：
$$\sin x (2\cos^2 x - \sin^2 x) = \sin x (3\cos^2 x - 1) = 3\sin x \cos^2 x - \sin x = 3\left(\frac14 \sin x + \frac14 \sin 3x\right) - \sin x = -\frac14 \sin x + \frac34 \sin 3x$$
因此
$$I(3) = \frac32 \int_0^{+\infty} \frac{-\frac14 \sin x + \frac34 \sin 3x}{x} dx = \frac32 \left( -\frac14 \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx + \frac34 \int_0^{+\infty} \frac{\sin 3x}{x} dx \right)$$
令$t=3x$，则$\int_0^{+\infty} \frac{\sin 3x}{x} dx = \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt = \frac{\pi}{2}$（Dirichlet积分）。又$\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2}$，代入得：
$$I(3) = \frac32 \left( -\frac14 \cdot \frac{\pi}{2} + \frac34 \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \frac32 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \left( -\frac14 + \frac34 \right) = \frac32 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac12 = \frac{3\pi}{8}$$
公式：\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2}, \quad I(3) = \frac{3\pi}{8}
提示：注意变量替换时积分限不变，Dirichlet积分是常用结果。
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