南京师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
六．（15 分）证明：$\displaystyle f(x)$ 在有界区间 $I$ 上一致连续的充要条件是对任意 $I$ 中的柯西列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ ，有 $\displaystyle \left\{f\left(a_{n}\right)\right\}$ 也是柯西列．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确题目条件和待证结论
设 \( I \) 是一个有界区间，函数 \( f: I \to \mathbb{R} \)。需要证明：\( f \) 在 \( I \) 上一致连续当且仅当对任意 \( I \) 中的柯西列 \(\{a_n\}\)，\(\{f(a_n)\}\) 也是柯西列。
提示：注意区间有界是充分性证明中用到 Bolzano-Weierstrass 定理的关键。
步骤 2/6
目标：必要性证明：一致连续 ⇒ 柯西列保持
假设 \( f \) 在 \( I \) 上一致连续。由定义：对任意 \( \varepsilon > 0 \)，存在 \( \delta > 0 \)，使得对任意 \( x, y \in I \)，若 \( |x - y| < \delta \)，则 \( |f(x) - f(y)| < \varepsilon \)。取任意 \( I \) 中的柯西列 \(\{a_n\}\)，对上述 \( \delta > 0 \)，存在 \( N \)，使得当 \( m, n > N \) 时，有 \( |a_m - a_n| < \delta \)。于是由一致连续性，当 \( m, n > N \) 时，有 \( |f(a_m) - f(a_n)| < \varepsilon \)。因此 \(\{f(a_n)\}\) 是柯西列。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x,y\in I, |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon
提示：注意一致连续性的 \( \delta \) 只依赖于 \( \varepsilon \)，不依赖于具体点，因此可以统一控制。
步骤 3/6
目标：充分性证明：柯西列保持 ⇒ 一致连续（反证法准备）
假设 \( f \) 不是一致连续的，则存在某个 \( \varepsilon_0 > 0 \)，使得对任意 \( \delta > 0 \)，都可以找到两点 \( x, y \in I \)，满足 \( |x - y| < \delta \) 但 \( |f(x) - f(y)| \ge \varepsilon_0 \)。特别地，对每个正整数 \( n \)，取 \( \delta = 1/n \)，则存在 \( a_n, b_n \in I \)，使得 \( |a_n - b_n| < 1/n \) 且 \( |f(a_n) - f(b_n)| \ge \varepsilon_0 \)。
公式：\exists \varepsilon_0>0, \forall n\in\mathbb{N}, \exists a_n,b_n\in I: |a_n-b_n|<\frac{1}{n}, |f(a_n)-f(b_n)|\ge\varepsilon_0
提示：反证法假设的否定形式要写准确：不一致连续意味着存在一个固定的 \( \varepsilon_0 \) 无法被任何 \( \delta \) 控制。
步骤 4/6
目标：利用有界性构造收敛子列
由于 \( I \) 有界，数列 \(\{a_n\}\) 有界。由 Bolzano-Weierstrass 定理，存在收敛子列 \(\{a_{n_k}\}\)，收敛到某点 \( c \)（\( c \) 可能属于 \( I \) 也可能属于 \( I \) 的闭包）。由 \( |a_{n_k} - b_{n_k}| < 1/n_k \to 0 \)，可知对应的 \(\{b_{n_k}\}\) 也收敛到相同的 \( c \)。
公式：\lim_{k\to\infty} a_{n_k} = c, \quad \lim_{k\to\infty} b_{n_k} = c
提示：这里 \( c \) 不一定在 \( I \) 中，但数列本身仍然是柯西列，因为柯西列定义不要求极限在集合内。
步骤 5/6
目标：构造新的柯西列并导出矛盾
构造交错数列：\( c_1 = a_{n_1}, c_2 = b_{n_1}, c_3 = a_{n_2}, c_4 = b_{n_2}, \dots \)。该数列收敛到 \( c \)，因此是柯西列。但它的像 \(\{f(c_n)\}\) 中，每一对相邻的 \( a_{n_k} \) 与 \( b_{n_k} \) 的函数值相差至少 \( \varepsilon_0 \)，即对任意 \( k \)，有 \( |f(c_{2k-1}) - f(c_{2k})| \ge \varepsilon_0 \)。因此 \(\{f(c_n)\}\) 不是柯西列，与条件矛盾。故假设不成立，\( f \) 必须一致连续。
公式：|f(c_{2k-1}) - f(c_{2k})| \ge \varepsilon_0, \quad \forall k
提示：注意交错数列的构造保证了它仍然是柯西列，但像序列中总有距离不小于 \( \varepsilon_0 \) 的项，从而破坏柯西性质。
步骤 6/6
目标：总结结论
必要性已证：一致连续 ⇒ 柯西列保持；充分性已证：柯西列保持 ⇒ 一致连续。因此该条件是充要条件。
提示：充分性证明中，区间有界是使用 Bolzano-Weierstrass 定理的前提，不可缺少。
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