南京师范大学 2026年数学分析第0题

观察被积表达式，分子为 $x\,dy\,dz + y\,dz\,dx + z\,dx\,dy$，分母为 $\sqrt{(x^2+y^2+z^2)^3}$，这对应于第二类曲面积分 $\iint_\Sigma \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$，其中向量场 $\mathbf{F} = \left( \dfrac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}, \dfrac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}, \dfrac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} \right)$。曲面 $\Sigma$ 取上侧。

计算散度：$\dfrac{\partial}{\partial x}\left(\dfrac{x}{r^3}\right) = \dfrac{r^2-3x^2}{r^5}$，同理对 $y,z$ 求导后相加得 $\nabla\cdot\mathbf{F} = \dfrac{3r^2-3(x^2+y^2+z^2)}{r^5}=0$（$r\neq0$）。因此除原点外散度处处为零，原点为奇点。

曲面方程 $1-\dfrac{z}{9} = \dfrac{(x-1)^2}{4}+\dfrac{(y-2)^2}{9}$ 可化为 $z = 9 - 9\cdot\dfrac{(x-1)^2}{4} - (y-2)^2$，是开口向下的椭圆抛物面，顶点 $(1,2,9)$，与 $z=0$ 平面交线为椭圆 $\dfrac{(x-1)^2}{4}+\dfrac{(y-2)^2}{9}=1$。代入原点 $(0,0,0)$ 得 $\dfrac{1}{4}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{25}{36}<1$，故原点在椭圆内部且在曲面下方，即位于 $\Sigma$ 与 $z=0$ 所围区域内部。

补上底面 $\Sigma_0$：$z=0$ 上的椭圆区域 $\dfrac{(x-1)^2}{4}+\dfrac{(y-2)^2}{9}\le 1$，取下侧（法向 $(0,0,-1)$）。再挖去小球面 $S_\varepsilon$：以原点为心、半径 $\varepsilon$ 充分小的球面，取外侧（法向向外）。则 $\Sigma \cup \Sigma_0 \cup S_\varepsilon$ 构成封闭曲面，所围区域不含原点，由高斯公式得 $\iint_\Sigma + \iint_{\Sigma_0} + \iint_{S_\varepsilon} = 0$。

在 $\Sigma_0$ 上，$z=0$，$\mathbf{F} = \left( \dfrac{x}{(x^2+y^2)^{3/2}}, \dfrac{y}{(x^2+y^2)^{3/2}}, 0 \right)$，法向量为 $(0,0,-1)$，点乘得 $\mathbf{F}\cdot(0,0,-1)=0$，因此 $\iint_{\Sigma_0}=0$。

在 $S_\varepsilon$ 上，$r=\varepsilon$，$\mathbf{F} = \dfrac{(x,y,z)}{\varepsilon^3}$，外侧单位法向量 $\mathbf{n} = \dfrac{(x,y,z)}{\varepsilon}$，故 $\mathbf{F}\cdot\mathbf{n} = \dfrac{x^2+y^2+z^2}{\varepsilon^4} = \dfrac{1}{\varepsilon^2}$。通量为 $\iint_{S_\varepsilon} \dfrac{1}{\varepsilon^2} dS = \dfrac{1}{\varepsilon^2}\cdot 4\pi\varepsilon^2 = 4\pi$。

由 $\iint_\Sigma = -\iint_{\Sigma_0} - \iint_{S_\varepsilon} = -0 - 4\pi = -4\pi$。