南京师范大学 2026年数学分析第0题

题目中六个曲面围成的空间区域，前四个曲面是柱面，在xy平面上的投影由曲线$y^2=2x$、$y^2=4x$、$y=x$、$y=2x$围成。$z$方向的下边界是$z=0$，上边界是$z=xy$。因此体积为$V=\iint\limits_{D} xy\,d\sigma$，其中$D$是xy平面上的投影区域。由于所有曲线关于$x$轴对称，且被积函数$xy$关于$y$是奇函数（在对称区域上积分为零？注意：$xy$关于$y$是奇函数，但区域关于$x$轴对称，所以积分结果为零？这不可能，因为体积应为正。实际上，$z=xy$在$y$正负时符号相反，但区域$D$关于$x$轴对称，且$xy$是$y$的奇函数，所以二重积分确实为零。但体积是$|z|$的积分？不对，题目中$z=xy$是上边界，$z=0$是下边界，当$xy$为负时，上边界低于下边界，但区域定义中$z$从0到$xy$，若$xy<0$则积分区间为负，体积应为正，所以实际上应该取$|xy|$？或者区域只存在于$xy\ge0$的部分？仔细分析：$y^2=2x$和$y^2=4x$要求$x\ge0$，而直线$y=x$和$y=2x$过原点，在$x>0$时，$y$可正可负。但$z=xy$在$y<0$时为负，此时$z=0$是上边界？题目未明确，但通常围成区域要求$z$从下到上，所以应限定$xy\ge0$，即$y\ge0$。因此实际上只取上半平面$y\ge0$部分，然后乘以2？不对，因为$xy$在$y<0$时也为负，若区域包含下半平面，则$z$从$xy$（负）到0，体积仍为正，但积分表达式应为$\iint (0-xy)d\sigma$，即$-xy$。由于对称性，上下半平面体积相等，故可先计算上半平面$y\ge0$部分，再乘以2。上半平面$y\ge0$时，$xy\ge0$，体积为$\iint_{D_+} xy\,d\sigma$，下半平面体积为$\iint_{D_-} (-xy)\,d\sigma = \iint_{D_+} xy\,d\sigma$，所以总体积为$2\iint_{D_+} xy\,d\sigma$。因此我们只需计算上半平面区域$D_+$。

上半平面$y\ge0$，曲线为：$y^2=2x$即$x=y^2/2$，$y^2=4x$即$x=y^2/4$，$y=x$即$x=y$，$y=2x$即$x=y/2$。这些曲线围成的区域$D_+$中，$x$的范围受左右边界限制。对于固定的$y$，左边界是$x=\max(y^2/4,\,y/2)$，右边界是$x=\min(y^2/2,\,y)$。解方程求分界点： - $y^2/4 = y/2 \Rightarrow y=0$或$y=2$； - $y^2/2 = y \Rightarrow y=0$或$y=2$； - $y^2/4 = y \Rightarrow y=0$或$y=4$（但$y$最大到2，故不考虑）； - $y^2/2 = y/2 \Rightarrow y=0$或$y=1$。 因此关键分界点为$y=1$和$y=2$。 当$0\le y\le1$时：比较$y/2$与$y^2/4$，由于$y\le1$，$y/2 \ge y^2/4$，所以左边界为$x=y/2$；比较$y$与$y^2/2$，由于$y\le2$，$y \ge y^2/2$，所以右边界为$x=y$。因此$x$从$y/2$到$y$。 当$1\le y\le2$时：左边界仍为$x=y/2$（因为$y/2 \ge y^2/4$直到$y=2$相等）；右边界仍为$x=y$（因为$y \ge y^2/2$直到$y=2$相等）。因此整个$y\in[0,2]$上，$x$范围都是$y/2\le x\le y$。但注意，在$y=2$时，左边界$y/2=1$，而$y^2/4=1$，右边界$y=2$，$y^2/2=2$，恰好与抛物线相交，所以区域$D_+$实际上是由直线$x=y/2$和$x=y$以及$y=0$围成的三角形区域？但抛物线并未成为边界？检查$y=0.5$时，$x$从0.25到0.5，而抛物线$x=y^2/2=0.125$，$x=y^2/4=0.0625$，均小于左边界，所以抛物线在区域外部，确实不是边界。因此$D_+$是三角形区域：$0\le y\le2$，$y/2\le x\le y$。但这样区域由两条直线和$y=0$围成，与题目给出的四条曲线矛盾？实际上，抛物线在$y$较小时位于直线左侧，但区域被直线截断，所以抛物线不构成边界。因此积分区域就是三角形。

上半平面体积为$V_+ = \iint\limits_{D_+} xy\,d\sigma = \int_{y=0}^{2} \int_{x=y/2}^{y} xy\,dx\,dy$。先对$x$积分： \[ \int_{x=y/2}^{y} xy\,dx = y \int_{y/2}^{y} x\,dx = y \cdot \left[\frac{x^2}{2}\right]_{y/2}^{y} = y \cdot \left(\frac{y^2}{2} - \frac{(y/2)^2}{2}\right) = y \cdot \left(\frac{y^2}{2} - \frac{y^2}{8}\right) = y \cdot \frac{3y^2}{8} = \frac{3}{8}y^3. \] 再对$y$积分： \[ V_+ = \int_{0}^{2} \frac{3}{8}y^3\,dy = \frac{3}{8} \cdot \left[\frac{y^4}{4}\right]_{0}^{2} = \frac{3}{8} \cdot \frac{16}{4} = \frac{3}{8} \cdot 4 = \frac{3}{2}. \]

由对称性，下半平面体积与上半平面相等，因此总体积$V = 2V_+ = 2 \times \frac{3}{2} = 3$。 验证：若直接对整个$D$（包括$y<0$）积分，需注意$xy$的符号。$D$关于$x$轴对称，且$xy$是$y$的奇函数，但积分区域$D$中$y$从负到正，直接积分$\iint_D xy\,d\sigma$确实为零，但这不是体积，因为当$xy<0$时，$z$从$xy$到$0$，体积元应为$0-xy = -xy$。因此正确的体积表达式应为$\iint_D |xy|\,d\sigma$，而$|xy|$是偶函数，故$V=2\iint_{D_+} xy\,d\sigma$，结果一致。

计算$\int_0^1 \int_{y/2}^{y^2/2} xy \, dx\, dy$。先对$x$积分： $$\int_{x=y/2}^{y^2/2} xy \, dx = y \cdot \frac{1}{2}x^2 \Big|_{y/2}^{y^2/2} = \frac{y}{2}\left[\left(\frac{y^2}{2}\right)^2 - \left(\frac{y}{2}\right)^2\right] = \frac{y}{2}\left(\frac{y^4}{4} - \frac{y^2}{4}\right) = \frac{y}{8}(y^4 - y^2).$$ 再对$y$积分： $$\int_0^1 \frac{y}{8}(y^4 - y^2) \, dy = \frac{1}{8}\int_0^1 (y^5 - y^3) \, dy = \frac{1}{8}\left(\frac{y^6}{6} - \frac{y^4}{4}\right)\Big|_0^1 = \frac{1}{8}\left(\frac{1}{6} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{8}\cdot\left(-\frac{1}{12}\right) = -\frac{1}{96}.$$