南京师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．求积分 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{4 \cos ^{2} x+3 \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入对称变换，构造关于x和π-x的积分关系
设原积分为 \( I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{4 \cos^2 x + 3 \sin^2 x} \, dx \)。令 \( x = \pi - t \)，则 \( dx = -dt \)，积分限变为 \( t: \pi \to 0 \)。代入得：
\[
I = \int_{\pi}^{0} \frac{(\pi - t) \sin(\pi - t)}{4\cos^2(\pi - t) + 3\sin^2(\pi - t)} (-dt) = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - t) \sin t}{4\cos^2 t + 3\sin^2 t} \, dt
\]
将变量 \( t \) 改回 \( x \)，得到 \( I = \int_{0}^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{4\cos^2 x + 3\sin^2 x} \, dx \)。
公式：x = \pi - t, \quad \sin(\pi - t) = \sin t, \quad \cos(\pi - t) = -\cos t
提示：注意平方项 \(\cos^2(\pi - t) = \cos^2 t\)，符号不影响平方结果。
步骤 2/5
目标：将原积分与变换后的积分相加，消去x因子
将原积分 \( I \) 与上一步得到的表达式相加：
\[
2I = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x + (\pi - x) \sin x}{4\cos^2 x + 3\sin^2 x} \, dx = \int_{0}^{\pi} \frac{\pi \sin x}{4\cos^2 x + 3\sin^2 x} \, dx
\]
因此 \( I = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{4\cos^2 x + 3\sin^2 x} \, dx \)。
公式：2I = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{4\cos^2 x + 3\sin^2 x} \, dx
提示：分子中 \( x \) 与 \( \pi - x \) 相加恰好消去变量 \( x \)，这是此类问题的核心技巧。
步骤 3/5
目标：化简分母，统一为余弦函数形式
利用恒等式 \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) 化简分母：
\[
4\cos^2 x + 3\sin^2 x = 4\cos^2 x + 3(1 - \cos^2 x) = \cos^2 x + 3
\]
于是积分简化为：
\[
I = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{\cos^2 x + 3} \, dx
\]
公式：\cos^2 x + 3
提示：化简时注意 \(4\cos^2 x - 3\cos^2 x = \cos^2 x\)，常数项保留。
步骤 4/5
目标：换元积分，计算定积分
令 \( u = \cos x \)，则 \( du = -\sin x \, dx \)，积分限：\( x=0 \to u=1 \)，\( x=\pi \to u=-1 \)。代入得：
\[
\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{\cos^2 x + 3} \, dx = \int_{1}^{-1} \frac{-du}{u^2 + 3} = \int_{-1}^{1} \frac{du}{u^2 + 3}
\]
这是一个标准积分，\( \int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) \)，其中 \( a = \sqrt{3} \)。计算：
\[
\int_{-1}^{1} \frac{du}{u^2 + 3} = \left[ \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{u}{\sqrt{3}}\right) \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \arctan\frac{1}{\sqrt{3}} - \arctan\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \right)
\]
由于 \( \arctan\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{6} \) 且 \( \arctan \) 为奇函数，上式等于 \( \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\pi}{3\sqrt{3}} \)。
公式：\int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right)
提示：换元时注意积分限的变化，以及 \( du = -\sin x \, dx \) 带来的符号处理。
步骤 5/5
目标：代入结果，得到最终答案
将上一步积分结果代入 \( I \) 的表达式：
\[
I = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{\pi^2}{6\sqrt{3}}
\]
公式：I = \frac{\pi^2}{6\sqrt{3}}
提示：最终结果需化简为最简形式，注意 \(\pi^2\) 与根号 \(\sqrt{3}\) 的乘积形式。
步骤 6/6
目标：代回得到最终结果
将上一步结果代入 $I$ 的表达式：
$$I = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{\pi^2}{6\sqrt{3}}$$
公式：$I = \frac{\pi^2}{6\sqrt{3}}$
提示：最终结果要化简，注意 $\pi^2$ 与根号的位置。
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