南京师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
八．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0, f(-1)=-1, f(1)=1$ ．
（1）证明：存在 $\displaystyle \xi \in(-1,1)$ ，使得 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right|<2$ ．
（2）证明：存在 $\displaystyle \eta \in(-1,1)$ ，使得 $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(\eta)\right|>2$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用泰勒公式在x=0处展开，得到两个点的二阶导数值
对任意$x\in[-1,1]$，由带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，存在介于0与$x$之间的$\theta(x)$使得
\[f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(\theta(x))}{2}x^2\]
代入$f(0)=0,f'(0)=0$得$f(x)=\frac{f''(\theta(x))}{2}x^2$。
分别取$x=1$和$x=-1$：
- 当$x=1$时，$1=\frac{f''(\theta_1)}{2}\cdot1^2$，故$f''(\theta_1)=2$，其中$\theta_1\in(0,1)$。
- 当$x=-1$时，$-1=\frac{f''(\theta_2)}{2}\cdot(-1)^2$，故$f''(\theta_2)=-2$，其中$\theta_2\in(-1,0)$。
公式：f(x)=\frac{f''(\theta(x))}{2}x^2
提示：注意泰勒展开的余项形式，$\theta(x)$介于0与$x$之间，符号由$x$的正负决定。
步骤 2/5
目标：利用达布定理证明存在ξ使得|f''(ξ)|<2
由第一步得到$f''(\theta_2)=-2$，$f''(\theta_1)=2$，且$\theta_2<0<\theta_1$。由于$f''(x)$在$[-1,1]$上存在（二阶可导），故$f''(x)$具有介值性（达布定理）。在区间$[\theta_2,\theta_1]$上，$f''$取到值$-2$和$2$，因此必存在$\xi\in(\theta_2,\theta_1)\subset(-1,1)$使得$f''(\xi)=0$，从而$|f''(\xi)|=0<2$。
公式：\text{达布定理：若}g\text{可导，则}g'\text{具有介值性}
提示：达布定理不要求导函数连续，只要求原函数可导，这里$f''$是$f'$的导函数，故适用。
步骤 3/5
目标：为证明(2)作准备：用反证法假设|f''(x)|≤2
假设对任意$x\in(-1,1)$，都有$|f''(x)|\le 2$，即$-2\le f''(x)\le 2$。下面将利用积分推导矛盾。
公式：|f''(x)|\le 2,\quad x\in(-1,1)
提示：反证法假设是证明(2)的关键，注意需要推导出与已知条件矛盾的结论。
步骤 4/5
目标：在假设下积分得到f'(x)和f(x)的界
由$f'(0)=0$，对$x>0$有$f'(x)=\int_0^x f''(t)dt$，故$|f'(x)|\le\int_0^x 2dt=2x$。再积分得$f(x)=\int_0^x f'(t)dt$，故$|f(x)|\le\int_0^x 2t dt=x^2$。同理，对$x<0$，由$f'(x)=\int_0^x f''(t)dt$（注意积分方向），可得$|f'(x)|\le 2|x|$，$|f(x)|\le x^2$。特别地，$|f(1)|\le 1$，$|f(-1)|\le 1$。
公式：|f(x)|\le x^2,\quad x\in[-1,1]
提示：注意积分上下限，当$x<0$时$\int_0^x$是负向积分，但绝对值不等式仍然成立。
步骤 5/5
目标：分析等号成立条件，导出矛盾
由已知$f(1)=1$，$f(-1)=-1$，结合$|f(1)|\le 1$和$|f(-1)|\le 1$，等号必须成立。由$|f(1)|=1$，且$f(1)=\int_0^1 f'(t)dt$，$|f'(t)|\le 2t$，推得$f'(t)=2t$几乎处处成立，从而$f''(t)=2$几乎处处成立（在$(0,1)$上）。同理，由$f(-1)=-1$，可得在$(-1,0)$上$f''(t)=-2$几乎处处成立。但$f''$在$(-1,1)$上存在，故在$x=0$处左极限为$-2$，右极限为$2$，与$f''(0)$存在矛盾（因为$f''(0)$必须同时等于左右极限，但$-2\neq2$）。因此假设不成立，存在$\eta\in(-1,1)$使得$|f''(\eta)|>2$。
公式：f''(t)=\begin{cases}2,&t\in(0,1)\\-2,&t\in(-1,0)\end{cases}\text{与可导性矛盾}
提示：等号成立需要$f'(t)=2t$几乎处处成立，但由$f'$可导，可推出处处相等，从而$f''$在0点不连续，与二阶可导矛盾。
步骤 6/7
目标：积分估计 $f(x)$ 并得到 $f(1)=1$ 的矛盾
由 $f(x)=f(0)+\int_0^x f'(t)dt$，得 $|f(x)|\leq \int_0^x |f'(t)|dt\leq \int_0^x 2t dt=x^2$。特别地，$|f(1)|\leq 1$，但 $f(1)=1$，故等号成立，要求 $f'(t)=2t$ 几乎处处成立，从而 $f''(t)=2$ 几乎处处，由连续性得 $f''(t)=2$ 对所有 $t\in[0,1]$。
提示：等号成立条件：$|f'(t)|=2t$ 且 $f'(t)$ 与 $2t$ 同号。
步骤 7/7
目标：类似处理 $x<0$ 得到矛盾
对 $x<0$，类似可得 $f''(t)=-2$ 对所有 $t\in[-1,0]$。但 $f''$ 在 $0$ 处连续，左极限为 $-2$，右极限为 $2$，矛盾。因此假设不成立，存在 $\eta\in(-1,1)$ 使得 $|f''(\eta)|>2$。
提示：注意 $f''$ 在 $0$ 处的连续性导致矛盾。
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