南京师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．求重积分 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}y, & y \leq e^{x}, \\ x, & y>e^{x} .\end{array} \quad D:[0,1] \times[0, e]\right.$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析积分区域D和被积函数的分段条件
积分区域 $D=[0,1]\times[0,e]$，被积函数 $f(x,y)$ 在曲线 $y=e^x$ 处分段：当 $y\le e^x$ 时 $f(x,y)=y$，当 $y>e^x$ 时 $f(x,y)=x$。曲线 $y=e^x$ 在 $x=0$ 时 $y=1$，在 $x=1$ 时 $y=e$，因此将矩形分为上下两部分。
公式：D = \{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\,0\le y\le e\}
提示：注意曲线 $y=e^x$ 完全位于矩形内部，且 $e^x$ 在 $[0,1]$ 上单调递增。
步骤 2/5
目标：将重积分分解为两个积分之和
根据分段条件，重积分可写为：
\[
\iint_D f(x,y)\,dxdy = \iint_{y\le e^x} y\,dxdy + \iint_{y>e^x} x\,dxdy
\]
其中第一个积分对应曲线下方区域，第二个对应曲线上方区域。
公式：\iint_D f = \iint_{y\le e^x} y + \iint_{y>e^x} x
提示：确保两个子区域不重叠且覆盖整个D。
步骤 3/5
目标：计算第一个积分（下方区域）
下方区域：$x$ 从 $0$ 到 $1$，对每个固定的 $x$，$y$ 从 $0$ 到 $e^x$。
\[
I_1 = \int_{x=0}^1 \int_{y=0}^{e^x} y\,dy\,dx
\]
先对 $y$ 积分：
\[
\int_0^{e^x} y\,dy = \frac12 (e^x)^2 = \frac{e^{2x}}{2}
\]
再对 $x$ 积分：
\[
I_1 = \int_0^1 \frac{e^{2x}}{2}\,dx = \frac12\cdot\frac{e^{2x}}{2}\Big|_0^1 = \frac14(e^2-1)
\]
公式：I_1 = \frac14(e^2-1)
提示：计算 $\int e^{2x}dx$ 时注意系数 $\frac12$。
步骤 4/5
目标：计算第二个积分（上方区域）
上方区域：$x$ 从 $0$ 到 $1$，对每个固定的 $x$，$y$ 从 $e^x$ 到 $e$。
\[
I_2 = \int_{x=0}^1 \int_{y=e^x}^{e} x\,dy\,dx
\]
先对 $y$ 积分（$x$ 视为常数）：
\[
\int_{e^x}^{e} x\,dy = x(e - e^x)
\]
再对 $x$ 积分：
\[
I_2 = \int_0^1 x(e - e^x)\,dx = e\int_0^1 x\,dx - \int_0^1 x e^x\,dx
\]
计算 $e\int_0^1 x\,dx = e\cdot\frac12 = \frac{e}{2}$。
计算 $\int_0^1 x e^x\,dx$ 使用分部积分：令 $u=x$，$dv=e^xdx$，则 $du=dx$，$v=e^x$，
\[
\int_0^1 x e^x\,dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - (e-1) = 1
\]
因此 $I_2 = \frac{e}{2} - 1$。
公式：I_2 = \frac{e}{2} - 1
提示：分部积分时注意符号和上下限代入。
步骤 5/5
目标：求和得到最终结果
总积分 $I = I_1 + I_2$：
\[
I = \frac14(e^2-1) + \left(\frac{e}{2} - 1\right) = \frac{e^2}{4} - \frac14 + \frac{e}{2} - 1 = \frac{e^2}{4} + \frac{e}{2} - \frac54
\]
公式：\boxed{\frac{e^{2}}{4}+\frac{e}{2}-\frac{5}{4}}
提示：合并常数项时注意 $-\frac14 -1 = -\frac54$。
步骤 6/6
目标：求和得到最终结果
将两个积分结果相加：
$$
\frac{e^2-1}{4} + \left(\frac{e}{2} - 1\right) = \frac{e^2-1}{4} + \frac{2e}{4} - \frac{4}{4} = \frac{e^2 + 2e - 5}{4}.
$$
因此，所求重积分为 $\frac{e^2+2e-5}{4}$。
提示：通分时注意分母统一为4。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。