南京理工大学 2024年数学分析第0题

设 $L = \lim_{x \to \infty} \left( \cos \frac{1}{x} \right)^{x^2 - 1}$，两边取自然对数得 $\ln L = \lim_{x \to \infty} (x^2 - 1) \ln \left( \cos \frac{1}{x} \right)$。

令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x \to \infty$ 时 $t \to 0^+$，且 $x^2 - 1 = \frac{1}{t^2} - 1$，于是 $\ln L = \lim_{t \to 0^+} \left( \frac{1}{t^2} - 1 \right) \ln(\cos t)$。

当 $t \to 0$ 时，$\cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} + O(t^6)$，所以 $\ln(\cos t) = \ln\left(1 - \frac{t^2}{2} + O(t^4)\right) = -\frac{t^2}{2} + O(t^4)$。

代入展开式：$\ln L = \lim_{t \to 0^+} \left( \frac{1}{t^2} - 1 \right) \left( -\frac{t^2}{2} + O(t^4) \right) = \lim_{t \to 0^+} \left( -\frac{1}{2} + \frac{t^2}{2} + O(t^2) \right) = -\frac{1}{2}$，因此 $L = e^{-1/2}$。

已知 $z = x^2 + y^2$，其中 $y = f(x)$ 由方程 $x^2 - xy + y^2 = 1$ 确定。由链式法则，$\frac{dz}{dx} = 2x + 2y \frac{dy}{dx}$，因此关键是求 $\frac{dy}{dx}$。

对方程 $x^2 - xy + y^2 = 1$ 两边关于 $x$ 求导：$2x - \left( y + x \frac{dy}{dx} \right) + 2y \frac{dy}{dx} = 0$，整理得 $2x - y + (2y - x) \frac{dy}{dx} = 0$，解得 $\frac{dy}{dx} = \frac{y - 2x}{2y - x}$。

将 $\frac{dy}{dx}$ 代入：$\frac{dz}{dx} = 2x + 2y \cdot \frac{y - 2x}{2y - x}$，通分后分子为 $2x(2y - x) + 2y(y - 2x) = 4xy - 2x^2 + 2y^2 - 4xy = 2y^2 - 2x^2 = 2(y^2 - x^2)$，因此 $\frac{dz}{dx} = \frac{2(y^2 - x^2)}{2y - x}$。

由上式解得 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{y - 2x}{2y - x}$。代入 $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}$ 表达式：$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x} = 2x + 2y\cdot\frac{y - 2x}{2y - x}$。通分化简：分子为 $2x(2y - x) + 2y(y - 2x) = 4xy - 2x^2 + 2y^2 - 4xy = 2y^2 - 2x^2 = 2(y^2 - x^2)$，分母为 $2y - x$。